1. Probabilidad condicionada
Definición
\(P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\) (con \(P(B)>0\)).
Independencia \(A\) y \(B\) son independientes ⇔ \(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\) ⇔ \(P(A|B)=P(A)\).
Probabilidad total
Si \(\{B_1,\ldots,B_n\}\) es una partición:
\(P(A) = \sum_i P(A|B_i)\cdot P(B_i)\).
2. Teorema de Bayes
Fórmula
\(P(B_i|A) = \dfrac{P(A|B_i)\cdot P(B_i)}{\sum_j P(A|B_j)\cdot P(B_j)}\).
Truco PEvAU Dibuja un árbol: ramas con \(P(B_i)\), sub-ramas con \(P(A|B_i)\). La probabilidad de cada "hoja" es el producto. Bayes = una hoja específica / suma de todas las hojas con A.
3. Distribución binomial
B(n, p)
\(P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\).
Media \(\mu = np\), varianza \(\sigma^2 = np(1-p)\).
Calculadora binomial
4. Distribución normal
N(μ, σ) Distribución continua simétrica con campana de Gauss. La tipificación \(Z = (X-\mu)/\sigma\) lleva a \(Z\sim N(0,1)\).
Aproximación binomial → normal Si \(np>5\) y \(n(1-p)>5\): \(B(n,p) \approx N(np,\;\sqrt{np(1-p)})\). Aplica corrección por continuidad: \(P(X\le k) \approx P(Z \le (k+0.5-\mu)/\sigma)\).
Calculadora normal estándar P(Z ≤ z)
Problemas resueltos paso a paso
1
PEvAU 2024 · A.5
Bayes con dos máquinas y tasa de defectos.
2024 Medio
2
PEvAU 2023 · B.5
Binomial: 8 ensayos con p=0,4.
2023 Fácil
1. Probabilidad de Laplace
Probabilidad de sacar un rey de una baraja de 52 cartas.
1
4/52 simplificado · valor decimal.
2. Probabilidad complementaria
P(no llover)=0,7. ¿P(llover)?
1
Valor.
3. Probabilidad de unión
\(P(A)=0{,}4\), \(P(B)=0{,}3\), \(P(A\cap B)=0{,}1\). \(P(A\cup B)\).
1
Valor.
4. Eventos independientes
Tirar dos dados. P(6 en ambos) = (1/6)².
1
Valor.
5. Probabilidad condicionada
\(P(A)=0{,}5\), \(P(A\cap B)=0{,}2\). \(P(B|A)\).
1
Valor.
6. Probabilidad total
Una urna A con 70 % bolas blancas, B con 40 %. Eliges urna al azar. P(blanca).
1
P(A)·P(blanca|A)+P(B)·P(blanca|B).
7. Bayes
Tras el problema anterior, sacas blanca. ¿P(urna A | blanca)?
1
(0,5·0,7)/0,55.
8. Binomial · media
\(X\sim B(20, 0{,}3)\). Media.
1
μ=np.
9. Binomial · desviación típica
Mismo \(X\). \(\sigma=\sqrt{npq}\).
1
Valor.
10. Normal estándar · tipificación
\(X\sim N(50,10)\). ¿Cuántos sigmas hay desde \(X=70\)?
1
z=(X-μ)/σ.
11. Normal · simetría
Para \(Z\sim N(0,1)\): \(P(Z<-1)+P(Z>1)\). Si \(P(Z>1)=0{,}1587\), suma.
1
Valor.
12. Tabla normal · P(Z<1)
\(P(Z<1)=\) aprox 0,8413. Devuelve ese valor.
1
Valor.
13. Combinatoria · C(n,k)
Calcula \(\binom{6}{2}\).
1
Valor.
14. Permutaciones
Permutaciones de 5 elementos distintos.
1
5!.
15. Aproximación binomial-normal
\(X\sim B(100, 0{,}5)\). Aproxima por normal: \(\mu\) y \(\sigma\).
1
μ.
2
σ=√(npq).
Test
1. \(P(A|B)\) se define como:
2. En B(20, 0.5), la media es:
3. Si Z ~ N(0,1), P(Z ≤ 0) =
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