1. Vectores en R³
Producto escalar \(\vec u \cdot \vec v = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 = |\vec u||\vec v|\cos\theta\). Se anula ⇔ vectores perpendiculares.
Producto vectorial \(\vec u \times \vec v = (u_2 v_3 - u_3 v_2,\; u_3 v_1 - u_1 v_3,\; u_1 v_2 - u_2 v_1)\). Es perpendicular a ambos. \(|\vec u\times\vec v|=|\vec u||\vec v|\sin\theta\) = área del paralelogramo.
Producto mixto \([\vec u,\vec v,\vec w] = \vec u\cdot(\vec v\times\vec w) = \det\begin{pmatrix}\vec u\\\vec v\\\vec w\end{pmatrix}\) = volumen del paralelepípedo (con signo).
Calculadora · producto escalar/vectorial
2. Rectas y planos
Recta (ecuaciones)
Paramétricas: \(\begin{cases}x=x_0+\lambda v_1\\y=y_0+\lambda v_2\\z=z_0+\lambda v_3\end{cases}\),
continua: \(\dfrac{x-x_0}{v_1}=\dfrac{y-y_0}{v_2}=\dfrac{z-z_0}{v_3}\).
Plano Ecuación general: \(Ax+By+Cz+D=0\), donde \(\vec n=(A,B,C)\) es vector normal.
Plano por 3 puntos \(\det\begin{pmatrix}x-x_1&y-y_1&z-z_1\\x_2-x_1&y_2-y_1&z_2-z_1\\x_3-x_1&y_3-y_1&z_3-z_1\end{pmatrix} = 0\).
3. Posiciones relativas
Dos rectas \(r\) y \(s\)
- Paralelas: \(\vec v_r\parallel\vec v_s\) y \(P_r\notin s\).
- Coincidentes: \(\vec v_r\parallel\vec v_s\) y \(P_r\in s\).
- Secantes: vectores no paralelos y \(\vec v_r,\vec v_s,\vec{P_rP_s}\) coplanarios (\([\;]=0\)).
- Se cruzan (no coplanarias): producto mixto \(\ne 0\).
4. Distancias y ángulos
Distancia punto-plano
\(d(P,\pi) = \dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\).
Distancia entre rectas que se cruzan
\(d(r,s) = \dfrac{|[\vec v_r,\vec v_s,\vec{P_rP_s}]|}{|\vec v_r\times\vec v_s|}\).
Ángulos
Entre rectas: \(\cos\theta = \dfrac{|\vec v_r\cdot\vec v_s|}{|\vec v_r||\vec v_s|}\).
Entre planos: usar sus vectores normales.
Recta-plano: \(\sin\theta = \dfrac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v||\vec n|}\).
Problemas resueltos paso a paso
1
PEvAU 2024 Ord · B.3
Distancia entre dos rectas que se cruzan.
2024 Ord Medio
2
PEvAU 2023 Ord · A.4
Plano que pasa por punto y contiene a una recta.
2023 Fácil
1. Producto escalar
Sean \(\vec u=(1,2,3)\) y \(\vec v=(4,-1,2)\). Calcula \(\vec u\cdot\vec v\).
1
Valor.
2. Módulo de un vector
\(|\vec u|\) con \(\vec u=(3,4,0)\).
1
Módulo.
3. Ángulo entre vectores · ortogonalidad
Si \(\vec u\cdot\vec v=0\), introduce 90 (en grados) como ángulo.
1
Ángulo en grados.
4. Producto vectorial · módulo
\(|\vec u\times\vec v|\) con \(\vec u=(1,0,0)\), \(\vec v=(0,2,0)\).
1
Módulo.
5. Plano por 3 puntos · vector normal
Plano por A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1). Norma del vector normal (1,1,1).
1
\(\sqrt 3\) aproximado.
6. Distancia punto-plano
Distancia de P(0,0,0) al plano \(2x+y-2z=6\). Usa \(d=|c|/\sqrt{a^2+b^2+c^2}\).
1
Distancia.
7. Recta · vector director
La recta \((1+t, 2-t, 3+2t)\). Módulo del vector director \((1,-1,2)\).
1
Módulo.
8. Posición relativa rectas
Dos rectas con directores \((1,2,3)\) y \((2,4,6)\). Indica 1=paralelas, 2=secantes, 3=cruzadas.
1
Respuesta.
9. Coordenadas baricentro
Triángulo \(A(0,0,0)\), \(B(6,0,0)\), \(C(0,3,3)\). Baricentro (x,y,z); calcula z.
1
Coordenada z del baricentro.
10. Volumen del tetraedro
Tetraedro de vértices O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,3,0), C(0,0,4). Volumen.
1
V = |det|/6 = 24/6.
11. Ángulo entre planos
Planos \(\pi_1: x+y+z=1\), \(\pi_2: x-y=0\). \(\cos\alpha=|\vec n_1\cdot\vec n_2|/(|\vec n_1||\vec n_2|)\). Calcula α en grados.
1
Producto escalar n₁·n₂.
2
α en grados (cos α=0).
12. Distancia entre puntos
Distancia entre A(1,2,2) y B(4,6,2).
1
Distancia.
13. Vector unitario
Vector unitario en la dirección de \(\vec u=(3,0,4)\). Norma de \(\vec u\) y componente \(x\) del unitario.
1
|u|.
2
Componente x del unitario.
14. Producto mixto · coplanariedad
Tres vectores son coplanarios si su producto mixto = 0. Calcula \([\vec u, \vec v, \vec w]\) con \(\vec u=(1,0,0)\), \(\vec v=(0,1,0)\), \(\vec w=(2,3,0)\).
1
Producto mixto.
15. Recta y plano · intersección
Recta \((t, 2t, 3t)\) y plano \(x+y+z=6\). Halla t y luego x.
1
t.
2
x.
Test
1. Si \(\vec u\cdot\vec v=0\) y ninguno es nulo, los vectores son:
2. El producto mixto \([\vec u,\vec v,\vec w]\) representa:
3. La distancia del punto P(1,2,3) al plano \(2x - y + 2z = 6\) es:
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