1. Límites y continuidad
Límite \(\lim_{x\to a}f(x)=L\) si para todo \(\varepsilon>0\) existe \(\delta>0\) tal que \(|x-a|<\delta\Rightarrow|f(x)-L|<\varepsilon\).
Indeterminaciones \(\frac{0}{0}\), \(\frac{\infty}{\infty}\), \(0\cdot\infty\), \(\infty-\infty\), \(1^\infty\), \(0^0\), \(\infty^0\).
Truco \(1^\infty\) \(\lim f^g = e^{\lim g(f-1)}\). Ejemplo: \(\lim_{x\to\infty}(1+1/x)^x=e\).
Continuidad en \(a\) \(\exists f(a)\), \(\exists \lim_{x\to a}f(x)\), y ambos coinciden.
2. Derivadas y L'Hôpital
Derivada \(f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
Reglas básicas
\[(fg)'=f'g+fg',\quad (f/g)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},\quad (f\circ g)'=f'(g)\cdot g'.\]
L'Hôpital Si \(\lim f/g\) es \(0/0\) o \(\infty/\infty\):
\(\lim \dfrac{f}{g} = \lim \dfrac{f'}{g'}\) (si el segundo existe).
Calculadora · derivada numérica en un punto
3. Optimización y representación
Encontrar extremos
- Calcular \(f'(x)\) y resolver \(f'(x)=0\) → puntos críticos.
- Estudiar el signo de \(f'\) en los intervalos → crecimiento/decrecimiento.
- Aplicar \(f''(x_0)\): si \(>0\), mínimo local; si \(<0\), máximo.
- Comprobar puntos frontera del intervalo (extremos absolutos).
Trampa PEvAU En problemas con restricción (volumen fijo, perímetro fijo), siempre despeja una variable y sustituye antes de derivar.
4. Integral indefinida
Inmediatas
\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\;(n\ne -1),\quad \int \frac{1}{x}dx = \ln|x|+C,\quad \int e^x dx = e^x + C.\]
Por partes \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\).
Mnemotecnia ALPES para elegir \(u\): Arcoseno, Logaritmo, Polinomio, Exponencial, Seno.
Racionales Si el denominador es polinómico, descompón en fracciones simples antes de integrar.
5. Integral definida y áreas
Barrow \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\), donde \(F'=f\).
Área entre curvas
\[\text{Área} = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\]
Si las curvas se cruzan, divide el intervalo en los puntos de corte.
Calculadora · área entre dos curvas
Problemas resueltos paso a paso
1
PEvAU 2024 Ordinaria · A.3
Optimización: dimensiones de una caja sin tapa con volumen fijo.
2024 Ord Medio
2
PEvAU 2023 · B.4
Área entre \(y=x^2\) y \(y=2x-x^2\).
2023 Fácil
3
PEvAU 2022 Res2 · A.3
Integral por partes: \(\int x\,e^x\,dx\).
2022 Reserva 2 Fácil
1. Derivada de polinomio
Sea \(f(x)=x^3-2x^2+5x-3\). Calcula \(f'(2)\).
1
f'(x)=3x²-4x+5; f'(2).
2. Derivada de producto
Sea \(f(x)=x^2 e^x\). Calcula \(f'(0)\).
1
f'(x)=e^x(2x+x²); f'(0).
3. Regla de la cadena
Sea \(f(x)=\sin(2x)\). Calcula \(f'(\pi/4)\).
1
f'(x)=2cos(2x); f'(π/4)=2cos(π/2).
4. Máximo de función cuadrática
\(f(x)=-x^2+6x-5\). Halla x del máximo y \(f(x)\) en él.
1
x del máximo.
2
f en máximo.
5. Integral definida polinómica
\(\int_0^2(3x^2+2)\,dx\).
1
Valor.
6. Integral exponencial
\(\int_0^1 e^x\,dx\). Valor aproximado.
1
Valor.
7. Límite por regla L'Hôpital
Calcula \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\).
1
Valor.
8. Asíntota horizontal
Halla \(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2+1}{x^2+x}\).
1
Valor.
9. Punto de inflexión
\(f(x)=x^3-3x\). ¿En qué \(x\) tiene punto de inflexión?
1
x.
10. Área entre curvas
Calcula el área entre \(y=x^2\) y \(y=2x\) entre 0 y 2.
1
\(\int_0^2(2x-x^2)\,dx\).
11. Optimización · perímetro fijo
Un rectángulo de perímetro 20 m maximiza su área. Halla el lado y el área.
1
Lado óptimo.
2
Área máxima.
12. Recta tangente
\(f(x)=x^2\). La pendiente de la tangente en \(x=3\).
1
Pendiente.
13. Integral con sustitución
\(\int_0^1 2x e^{x^2}\,dx\).
1
Valor (e-1).
14. TVI · derivada cero
Función \(f\) continua y derivable con \(f(0)=1\), \(f(2)=1\). ¿Existe \(c\in(0,2)\) con \(f'(c)=0\)? 1=sí, 2=no.
1
Respuesta (teorema de Rolle).
15. Coste marginal
Si \(C(x)=0{,}1x^2+5x+200\), ¿cuál es el coste marginal en \(x=10\)?
1
C'(10)=0,2x+5; C'(10).
Test
1. \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = \)
2. La derivada de \(f(x)=\ln(x^2+1)\) es:
3. \(\int_0^1 (3x^2-2x)\,dx = \)
4. Si \(f''(x_0)>0\) y \(f'(x_0)=0\), entonces \(x_0\) es:
Simulador interactivo
Banco de exámenes (Matematicas)
Cargando…