1. Matrices y operaciones
Matriz Conjunto rectangular \(A=(a_{ij})_{m\times n}\) de números reales en \(m\) filas y \(n\) columnas.
Suma \((A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\) (necesita misma dimensión).
Producto \((A\cdot B)_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}\) (filas de \(A\) por columnas de \(B\)). No conmutativo en general.
Traspuesta \(A^T_{ij}=a_{ji}\). Si \(A=A^T\) la matriz es simétrica; si \(A=-A^T\) es antisimétrica.
Error frecuente En PEvAU, una pregunta típica pide despejar \(X\) en \(AX=B\) o \(XA=B\). No es lo mismo \(X=A^{-1}B\) que \(X=BA^{-1}\): el orden importa.
2. Determinantes
2×2 \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\).
3×3 (Sarrus)
\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}.\]
Propiedades clave
- \(|A^T|=|A|\)
- \(|AB|=|A|\cdot|B|\)
- Si intercambias dos filas (o columnas): \(|A|\) cambia de signo.
- Si una fila es combinación lineal de otras: \(|A|=0\).
- Si multiplicas una fila por \(\lambda\): \(|A|\) queda multiplicado por \(\lambda\).
Calculadora de determinante 3×3
Introduce filas y pulsa.
3. Rango y matriz inversa
Rango Dimensión del mayor menor no nulo. \(\text{rg}(A)\le\min(m,n)\).
Inversa \(A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\,(\text{Adj}(A))^T\), existe si \(|A|\ne 0\). Cumple \(A\cdot A^{-1}=I\).
Ejemplo (PEvAU 2023 ord.) Despeja \(X\) en \(AX-B=2X\). Solución: \((A-2I)X=B\Rightarrow X=(A-2I)^{-1}B\), siempre que \(|A-2I|\ne 0\).
4. Sistemas de ecuaciones lineales
Forma matricial \(AX=B\), con \(A\) matriz de coeficientes, \(B\) términos independientes.
Cramer Si \(A\) cuadrada y \(|A|\ne 0\): \(x_i=\dfrac{|A_i|}{|A|}\), donde \(A_i\) sustituye la columna \(i\) por \(B\).
Método de Gauss
- Escribir la matriz ampliada \([A|B]\).
- Hacer ceros bajo la diagonal mediante operaciones elementales por filas.
- Resolver hacia arriba.
5. Discusión por Rouché-Frobenius
Teorema Sea \(A^*=[A|B]\) la matriz ampliada. Entonces:
- \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)=n\): SCD (sistema compatible determinado).
- \(\text{rg}(A)=\text{rg}(A^*)<n\): SCI (sistema compatible indeterminado).
- \(\text{rg}(A)\ne\text{rg}(A^*)\): SI (sistema incompatible).
Cómo cae en PEvAU Te dan un sistema con un parámetro \(m\) y piden discutir según \(m\). Patrón: calcula \(|A|\), encuentra los \(m\) para los que \(|A|=0\), y en esos valores estudia \(A^*\).
Problemas resueltos paso a paso
Pulsa el problema y se abre el visor con resolución paso a paso. Arrastra el ❓ Ayuda IA sobre cualquier paso para que Groq te lo explique.
1
PEvAU 2023 Ordinaria · Problema A.1
Discusión de sistema según parámetro \(m\). Aplica Rouché-Frobenius.
2023 Ord Medio
2
PEvAU 2024 Extraordinaria · Problema A.2
Matriz inversa y ecuación matricial \(AX=B\).
2024 Ext Fácil
3
PEvAU 2022 Reserva 1 · Problema A.1
Sistema 3×3 dependiente de parámetro, discusión y resolución.
2022 Reserva 1 Difícil
1. Determinante 3×3 · Sarrus
Calcula \(\det\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}\).
1
Determinante.
2. Rango de matriz 2×3
\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}\). Rango.
1
Rango.
3. Sistema compatible determinado
Resuelve \(\{x+y=5, 2x-y=1\}\). Calcula \(x\) y luego \(y\).
1
x.
2
y.
4. Regla de Cramer
Resuelve \(\{2x+y=7, x+3y=11\}\) por Cramer.
1
Det principal.
2
x.
3
y.
5. Matriz inversa 2×2
Halla la inversa de \(A=\begin{pmatrix}2&1\\3&2\end{pmatrix}\). Det y elemento (1,1) de la inversa.
1
Det A.
2
Elemento (1,1) de A⁻¹.
6. Producto matricial AB · 2×2
Si \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\) y \(B=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}\), elemento (1,1) y (2,2) de AB.
1
(AB)₁₁.
2
(AB)₂₂.
7. Valores propios 2×2
\(A=\begin{pmatrix}4&1\\2&3\end{pmatrix}\). Calcula λ₁ + λ₂ (traza) y λ₁·λ₂ (det).
1
Traza.
2
Determinante.
8. Matriz traspuesta · simetría
Si \(A=\begin{pmatrix}1&2&0\\2&3&5\\0&5&4\end{pmatrix}\), ¿coincide con su traspuesta? 1 = sí (simétrica), 2 = no.
1
Respuesta.
9. Sistema homogéneo · incompatible imposible
Para \(\{2x+y=0, 4x+2y=0\}\), ¿cuántas soluciones tiene? 1=solo trivial, 2=infinitas.
1
Respuesta.
10. Teorema de Rouché-Frobenius
Si rg(A) = 2 y rg(A|B) = 3 con 3 incógnitas, ¿el sistema es: 1=SCD, 2=SCI, 3=SI?
1
Respuesta.
11. Combinación lineal
Si \((3,5) = a(1,1) + b(1,2)\), calcula a y b.
1
a.
2
b.
12. Subespacio vectorial · dimensión
El subespacio generado por (1,2,3) y (2,4,6) en R³ tiene dimensión:
1
Dimensión.
13. Diagonalización · determinante producto autovalores
Si una matriz 2×2 tiene autovalores 3 y −1, calcula su determinante y su traza.
1
Det.
2
Traza.
14. Determinante por triangular
Si \(A\) es triangular superior con diagonal 2, 3, 5, calcula \(\det A\).
1
Det.
15. Sistema 3×3 escalonado
Resuelve \(\{x+y+z=6, y+z=5, z=2\}\). Calcula x.
1
z.
2
y.
3
x.
Test de autoevaluación
1. Si \(A\) es \(3\times 3\) y \(|A|=2\), entonces \(|2A|=\)
2. Un sistema homogéneo \(AX=0\) con \(|A|\ne 0\) es:
3. Si \(\text{rg}(A)=2\) y \(\text{rg}([A|B])=3\) en un sistema de 3 incógnitas, el sistema es:
4. Si \(A\) y \(B\) son \(2\times 2\), ¿cuál de estas es siempre cierta?
Simulador interactivo
Banco de exámenes (Matematicas)
Cargando…