1. Distribución normal y tipificación
N(μ, σ)
Distribución continua simétrica con campana de Gauss. Tipificación: \(Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}\) sigue \(N(0,1)\).
Valores críticos (PEvAU)
- 90 % de confianza → \(z_{\alpha/2} = 1{,}645\) (α = 0,10).
- 95 % de confianza → \(z_{\alpha/2} = 1{,}96\) (α = 0,05).
- 99 % de confianza → \(z_{\alpha/2} = 2{,}575\) (α = 0,01).
2. Distribución muestral de la media
Teorema central del límite
Si \(X \sim N(\mu, \sigma)\) o bien \(n \ge 30\):
\(\overline{X} \sim N\!\left(\mu,\; \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\).
El error estándar de la media es \(\sigma_{\overline X} = \dfrac{\sigma}{\sqrt n}\).
Idea
Más muestra → menos dispersión de la media muestral → estimación más precisa. La desviación cae como \(\sqrt n\), no como \(n\).
3. Intervalo de confianza para la media (σ conocida)
IC al (1−α)·100 %
\(\mathrm{IC} = \left(\overline{x} - z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n},\;\; \overline{x} + z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\right)\).
Error de estimación (margen)
\(E = z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt n}\). El IC es \([\overline x - E,\; \overline x + E]\).
4. Intervalo de confianza para una proporción
IC para p
\(\mathrm{IC} = \left(\hat p - z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}},\;\; \hat p + z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\dfrac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\right)\).
Cuándo se aplica Requiere \(n\hat p \ge 5\) y \(n(1-\hat p)\ge 5\) para la aproximación normal.
5. Tamaño muestral necesario
Para la media
Para que el error no supere \(E_0\):
\(n \ge \left(\dfrac{z_{\alpha/2}\cdot \sigma}{E_0}\right)^2\). Redondear al entero superior.
Para una proporción
\(n \ge \left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E_0}\right)^2 \cdot \hat p(1-\hat p)\). En el peor caso, \(\hat p (1-\hat p) = 0{,}25\) (cuando \(\hat p = 0{,}5\)).
6. Contraste de hipótesis (z-test bilateral)
Procedimiento
- Hipótesis: \(H_0: \mu = \mu_0\) vs \(H_1: \mu \neq \mu_0\) (bilateral) o \(H_1: \mu > \mu_0\) (unilateral).
- Estadístico de contraste: \(Z = \dfrac{\overline x - \mu_0}{\sigma/\sqrt n}\).
- Región crítica: \(|Z| > z_{\alpha/2}\) (bilateral) o \(Z > z_\alpha\) (unilateral derecha).
- Decisión: Si \(Z\) cae en región crítica → rechazo \(H_0\). Si no → no rechazo \(H_0\).
Errores
Tipo I: rechazar \(H_0\) siendo cierta (prob = α). Tipo II: no rechazar siendo falsa (prob = β).
7. Errores frecuentes
1. Usar \(\sigma\) en lugar de \(\sigma/\sqrt n\) al hacer el IC (olvidar el error estándar).
2. Confundir el valor crítico (\(z_{1{,}96}\) bilateral 95 %) con el unilateral (1,645).
3. Redondear el tamaño muestral hacia abajo (debe ser hacia arriba para garantizar el error).
4. Interpretar "rechazar H₀" como "H₁ es verdad con probabilidad 1−α".
5. Confundir nivel de confianza (1−α) con nivel de significación (α).
Problemas resueltos paso a paso
PEvAU — Intervalo de confianza para la media 2019OrdinariaMedio
En una muestra aleatoria de 100 estudiantes la nota media en MACS II fue de 6,8 puntos, con σ poblacional conocida = 1,5. Construye un intervalo de confianza al 95 % para la media μ.
1
Error estándar = σ/√n = 1,5/√100. Cuánto vale?
2
Error E = z·(σ/√n) con z = 1,96 (95 % bilateral). Cuánto vale E?
3
Extremo superior: x̄ + E = 6,8 + 0,294.
Ver solución completa
\(z_{0{,}025} = 1{,}96\). σ/√n = 1,5/10 = 0,15. Error E = 1,96·0,15 = 0,294.
IC95 = (6,8 − 0,294 ; 6,8 + 0,294) = (6,506 ; 7,094).
Con un 95 % de confianza, la media μ está entre 6,51 y 7,09 puntos.
IC95 = (6,8 − 0,294 ; 6,8 + 0,294) = (6,506 ; 7,094).
Con un 95 % de confianza, la media μ está entre 6,51 y 7,09 puntos.
PEvAU — Contraste z (z-test bilateral) 2022OrdinariaAlta
Un fabricante afirma que sus bombillas duran en media 1000 h, con σ = 50 h. Se toma una muestra de n = 25 bombillas con media muestral 980 h. ¿Hay evidencia con α = 0,05 (bilateral) para rechazar la afirmación?
1
Z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) = (980 − 1000)/(50/√25). ¿Cuánto vale Z?
2
|Z| = 2. Compara con z₀,₀₂₅ = 1,96. ¿Se rechaza H₀? Pon 1 si sí, 0 si no.
Ver solución completa
H₀: μ = 1000; H₁: μ ≠ 1000. Estadístico: Z = (980 − 1000)/(50/√25) = −20/10 = −2.
Región crítica: |Z| > 1,96. Como |−2| = 2 > 1,96, se rechaza H₀ al 5 %.
Hay evidencia de que las bombillas duran menos de 1000 h en media.
Región crítica: |Z| > 1,96. Como |−2| = 2 > 1,96, se rechaza H₀ al 5 %.
Hay evidencia de que las bombillas duran menos de 1000 h en media.
3. Intervalo de confianza al 95 % — media
Muestra de n = 100 con \(\bar x = 50\) y \(\sigma = 8\). IC al 95 %.
1
Margen \(E=1{,}96\cdot\sigma/\sqrt n\).
2
Límite inferior.
3
Límite superior.
4. Tamaño muestral mínimo
Para un IC al 95 % con margen máximo E = 0,5 y \(\sigma = 4\), calcula el n mínimo.
1
\(n\ge (1{,}96\sigma/E)^2\). Redondea hacia arriba.
5. Contraste de medias · z bilateral
Muestra n = 64, \(\bar x = 102\), \(\sigma = 12\). H₀: μ = 100. Calcula el estadístico z.
1
\(z=(\bar x-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)\).
6. IC al 99 % — proporción
En una encuesta n = 400, p̂ = 0,4. IC al 99 % (z = 2,576).
1
Margen \(E=z\sqrt{p(1-p)/n}\).
2
Límite inferior.
3
Límite superior.
7. Error tipo I
En un test al nivel α = 0,05, ¿cuál es la probabilidad de rechazar H₀ siendo cierta?
1
Por definición, P(error I) = α.
8. Test unilateral (cola derecha)
Para z = 1,8 y α = 0,05 (cola derecha, z_c = 1,645), ¿se rechaza H₀? Introduce 1 (sí) o 0 (no).
1
\(z>z_c\) ⇒ se rechaza.
9. IC al 90 % — proporción
Encuesta n = 200, p̂ = 0,55 (z = 1,645). Calcula el margen.
1
\(E=z\sqrt{p(1-p)/n}\).
10. z para nivel 90 %
¿Cuál es el valor crítico z para un IC bilateral al 90 %?
1
z = 1,645.
11. Potencia · cualitativa
Si α aumenta de 0,01 a 0,05, ¿la potencia (1−β) aumenta o disminuye? Introduce 1 (aumenta) o -1 (disminuye).
1
La potencia aumenta al subir α.
12. Test de proporción · z
n = 300, p̂ = 0,52, H₀: p = 0,5. Calcula el z del contraste.
1
\(z=(\hat p-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}\).
13. Decisión basada en p-valor
Si el p-valor = 0,03 y α = 0,05, ¿se rechaza H₀? Introduce 1 o 0.
1
p < α ⇒ rechazamos.
14. Tamaño muestral · proporción
Para IC al 95 % con margen E = 0,03 y p̂ desconocida (usar 0,5), calcula n mínimo.
1
\(n\ge(1{,}96/E)^2\cdot 0{,}25\). Redondea arriba.
15. IC al 95 % — varianza conocida
Muestra n = 36, \(\bar x = 20\), \(\sigma = 6\). Calcula el margen al 95 %.
1
\(E=1{,}96\cdot\sigma/\sqrt n\).
Test de autoevaluación
1. Para una distribución N(μ, σ), si n = 100 y σ = 10, el error estándar de la media es:
2. El valor crítico para un IC al 99 % de confianza (bilateral) es aproximadamente:
3. Para reducir a la mitad el error de un IC para la media, hay que:
4. Rechazar H₀ siendo H₀ verdadera se llama error de:
5. En un test z bilateral con α = 0,05, se rechaza H₀ cuando:
Simuladores
Intervalo de confianza para la media
Ajusta x̄, σ, n y el nivel de confianza. Observa el ancho del IC.
Contraste de hipótesis (z-test)
Distribución de Z bajo H₀ con la región crítica sombreada y el valor observado.
Banco de exámenes (MACS II)
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