1. Combinatoria
| Concepto | Fórmula | Cuándo |
|---|---|---|
| Variaciones con repetición | \(VR_m^n = m^n\) | Orden importa, se permite repetir. |
| Variaciones sin repetición | \(V_m^n = \dfrac{m!}{(m-n)!}\) | Orden importa, sin repetir. |
| Permutaciones | \(P_n = n!\) | Reordenar n elementos distintos. |
| Combinaciones | \(C_m^n = \dbinom{m}{n} = \dfrac{m!}{n!(m-n)!}\) | Orden no importa, sin repetir. |
Truco para decidir
¿Importa el orden? Si SÍ → Variación. Si NO → Combinación. ¿Se repite? Sólo aplica en V (VR) y en algunos casos especiales.
2. Regla de Laplace
Probabilidad clásica
\(P(A) = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}\). Exige equiprobabilidad de los sucesos elementales.
Axiomas
- \(0 \le P(A) \le 1\).
- \(P(\Omega) = 1\); \(P(\varnothing) = 0\).
- Si \(A\) y \(B\) son disjuntos: \(P(A\cup B) = P(A) + P(B)\).
- En general: \(P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)\).
- \(P(\bar A) = 1 - P(A)\) (suceso contrario).
3. Probabilidad condicionada
Definición
\(P(A|B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}\), siempre que \(P(B) > 0\). Probabilidad de A sabiendo que B ya ha ocurrido.
Regla del producto
\(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B|A) = P(B)\cdot P(A|B)\).
4. Sucesos dependientes e independientes
Independencia
A y B son independientes ⇔ \(P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B)\) ⇔ \(P(A|B) = P(A)\).
Cuidado Sucesos disjuntos (\(A\cap B = \varnothing\)) NO son independientes si \(P(A), P(B) > 0\).
5. Probabilidad total
Teorema
Si \(\{B_1, B_2, \ldots, B_n\}\) es una partición del espacio muestral (mutuamente excluyentes y exhaustivos):
\(P(A) = \displaystyle\sum_{i=1}^n P(A | B_i) \cdot P(B_i)\).
Truco PEvAU: el árbol
Dibuja un árbol: primer nivel = causas \(B_i\) con \(P(B_i)\); segundo nivel = \(A\) bajo cada causa con \(P(A|B_i)\). Cada hoja es el producto.
6. Teorema de Bayes
Bayes
\(P(B_i | A) = \dfrac{P(A|B_i)\cdot P(B_i)}{\sum_j P(A|B_j)\cdot P(B_j)} = \dfrac{P(A\cap B_i)}{P(A)}\).
Cómo lo recordamos
Bayes = "una hoja específica del árbol dividida por la suma de todas las hojas con A".
7. Errores frecuentes
1. Sumar probabilidades cuando hay intersección no vacía (olvidar restar \(P(A\cap B)\)).
2. Confundir \(P(A|B)\) con \(P(B|A)\). NO son iguales.
3. Considerar sucesos disjuntos como independientes.
4. Usar combinatoria sin verificar si hay reposición o no.
5. Olvidar normalizar (dividir por P(A)) al aplicar Bayes.
Problemas resueltos paso a paso
PEvAU — Bayes con tres fábricas 2019OrdinariaAlta
Una empresa tiene 3 fábricas A, B y C que producen el 30 %, 50 % y 20 % de las unidades. La proporción de unidades defectuosas en cada fábrica es del 5 %, 2 % y 4 %, respectivamente. Se elige una unidad al azar y resulta defectuosa.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa?
b) Si es defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de A?
1
P(D) = P(D|A)·P(A) + P(D|B)·P(B) + P(D|C)·P(C). Calcula y multiplica por 1000 para evitar decimales.
2
P(A|D) = P(D|A)·P(A) / P(D) = 0,05·0,30 / 0,033. Aproxima a 4 decimales.
Ver solución completa
a) P(D) = 0,05·0,30 + 0,02·0,50 + 0,04·0,20 = 0,015 + 0,010 + 0,008 = 0,033 (3,3 %).
b) P(A|D) = (0,05·0,30)/0,033 = 0,015/0,033 ≈ 0,4545 (45,5 %).
b) P(A|D) = (0,05·0,30)/0,033 = 0,015/0,033 ≈ 0,4545 (45,5 %).
PEvAU — Combinatoria + probabilidad 2021OrdinariaMedio
De una urna con 6 bolas rojas y 4 azules se extraen 3 sin reposición. Calcula la probabilidad de extraer exactamente 2 rojas.
1
Casos favorables: C(6,2)·C(4,1). Calcula esta cifra (un entero).
2
Casos posibles: C(10,3). Calcúlalo.
3
P = casos favorables / casos posibles = 60 / 120.
Ver solución completa
Casos favorables: \(\binom{6}{2}\cdot\binom{4}{1} = 15\cdot 4 = 60\).
Casos posibles: \(\binom{10}{3} = 120\).
P = 60/120 = 0,5 (50 %).
Casos posibles: \(\binom{10}{3} = 120\).
P = 60/120 = 0,5 (50 %).
3. Regla de Laplace
En una baraja española de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de sacar una espada?
1
Casos favorables / casos totales = 10/40. Reduce a fracción decimal.
4. Probabilidad de la unión
P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(A∩B) = 0,15. Calcula P(A∪B).
1
\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
5. Probabilidad condicionada
P(A∩B) = 0,12; P(B) = 0,3. Calcula P(A|B).
1
\(P(A|B)=P(A\cap B)/P(B)\).
6. Independencia · producto
A y B son independientes con P(A) = 0,3 y P(B) = 0,5. Calcula P(A∩B).
1
\(P(A\cap B)=P(A)P(B)\).
7. Teorema de Bayes — falsos positivos
Una enfermedad tiene prevalencia 0,01. Sensibilidad 0,95, especificidad 0,9. Si el test sale +, ¿cuál es P(enfermo|+)?
1
P(+) = 0,95·0,01 + 0,1·0,99. Calcula.
2
P(enfermo|+) = (0,95·0,01)/P(+). Calcula.
8. Diagrama de árbol
Una urna A tiene 6 rojas y 4 azules; urna B 3 rojas y 7 azules. Elegimos urna al azar (P=0,5 c/u). Sacamos roja. P(A|roja).
1
P(roja) = 0,5·0,6 + 0,5·0,3.
2
P(A|roja) = (0,5·0,6)/0,45.
9. Binomial · n y p
Se lanzan 10 monedas. P(exactamente 4 caras) ≈ ?
1
\(C(10,4)\cdot 0{,}5^{10}\) = 210·0,0009766.
10. Binomial · esperanza
Si \(X\sim B(20;0{,}3)\), calcula E[X].
1
\(E[X]=np\).
11. Binomial · varianza
Mismo \(X\sim B(20;0{,}3)\). Calcula Var[X].
1
\(Var[X]=np(1-p)\).
12. Probabilidad complementaria
Se lanza un dado 4 veces. P(no salir 6 ninguna vez) = ?
1
\((5/6)^4\).
13. Sucesos incompatibles
P(A) = 0,25; P(B) = 0,4; A y B incompatibles. Calcula P(A∪B).
1
Si \(A\cap B=\emptyset\): \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\).
14. Test de embarazo (Bayes simplificado)
Sensibilidad 0,99; especificidad 0,98; prevalencia 0,1. P(embarazo|+) = ?
1
P(+) = 0,99·0,1 + 0,02·0,9.
2
P(emb|+) = (0,99·0,1)/P(+).
15. Tabla de contingencia
Encuesta a 200 personas: 80 hombres (30 fumadores), 120 mujeres (24 fumadoras). P(fumador) = ?
1
Fumadores total / 200.
Test de autoevaluación
1. El número de combinaciones de 8 elementos tomados de 3 en 3 es:
2. Si P(A) = 0,4 y P(B) = 0,3 y son independientes, P(A∩B) =
3. Si P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 y P(A∩B) = 0,2, P(A|B) =
4. Un test médico tiene 95 % sensibilidad y 90 % especificidad. La enfermedad afecta al 1 % de la población. Si un test sale positivo, P(enfermo|+) aproximada:
5. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 5 libros en una estantería?
Simuladores
Bayes con dos causas (test médico)
Prevalencia, sensibilidad y especificidad. Observa cómo cambia la probabilidad post-test.
Árbol de probabilidad (dos urnas)
Dos urnas con bolas rojas y azules. Se elige urna al azar y luego una bola. Probabilidad de roja y, si fue roja, de que viniera de la urna 1.
Banco de exámenes (MACS II)
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