1. Límites y continuidad
Límite
\(\lim_{x\to a} f(x) = L\) si los valores de \(f\) se acercan a \(L\) cuando \(x\) se acerca a \(a\) por ambos lados.
Continuidad en x = a
- Existe \(f(a)\).
- Existe \(\lim_{x\to a} f(x)\).
- Coinciden: \(\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\).
Indeterminaciones típicas MACS II
\(\frac{0}{0}\) (factoriza o divide por \(x^n\)), \(\frac{\infty}{\infty}\) (compara grados), \(\infty - \infty\) (multiplica y divide por conjugado).
2. Derivada y reglas de derivación
Definición
\(f'(a) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\). Pendiente de la tangente en x = a.
Reglas básicas
- \((k)' = 0\); \((x^n)' = n x^{n-1}\)
- Suma: \((f+g)' = f' + g'\)
- Producto: \((f\cdot g)' = f'g + fg'\)
- Cociente: \(\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\)
- Cadena: \([f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)\)
- \((e^x)' = e^x\); \((\ln x)' = 1/x\); \((\sin x)' = \cos x\); \((\cos x)' = -\sin x\).
3. Aplicaciones: crecimiento, decrecimiento, extremos
Signo de f'
- \(f'(x) > 0\) → \(f\) creciente en ese intervalo.
- \(f'(x) < 0\) → \(f\) decreciente.
- \(f'(x_0) = 0\) y cambia signo + → −: máximo relativo en \(x_0\); de − → + : mínimo relativo.
Test segunda derivada
Si \(f'(x_0) = 0\) y \(f''(x_0) > 0\): mínimo; si \(f''(x_0) < 0\): máximo.
Concavidad e inflexión
\(f''(x) > 0\): cóncava hacia arriba (∪). \(f''(x) < 0\): cóncava hacia abajo (∩). Punto de inflexión: \(f''(x_0)=0\) y cambia signo.
4. Optimización aplicada
Esquema PEvAU
- Lee bien y define las variables.
- Plantea la función a optimizar (en términos de UNA sola variable).
- Deriva e iguala a cero: \(f'(x) = 0\) → candidatos.
- Confirma con el signo de \(f'\) o el signo de \(f''\) que el candidato es máximo o mínimo.
- Interpreta: da el valor real con unidades y la respuesta a la pregunta.
Modelos PEvAU típicos
Beneficio = ingresos − costes; coste medio mínimo; producción óptima; envases con superficie mínima…
5. Integral indefinida y definida
Primitiva
\(F(x)\) es primitiva de \(f(x)\) si \(F'(x) = f(x)\). \(\int f(x)\,dx = F(x) + C\).
Integrales inmediatas
\(\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\) (si \(n\neq -1\)); \(\int 1/x\,dx = \ln|x| + C\); \(\int e^x\,dx = e^x + C\).
Regla de Barrow
\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\).
6. Áreas bajo la curva
Área entre una curva y el eje X
\(A = \displaystyle\int_a^b |f(x)|\,dx\). Si \(f(x) \ge 0\): \(A = \int_a^b f(x)\,dx\). Si cambia de signo: separa por trozos.
Área entre dos curvas
\(A = \displaystyle\int_a^b \big(f(x) - g(x)\big)\,dx\), con \(f \ge g\) en \([a,b]\). Si se cortan, primero halla los puntos de corte y divide.
7. Errores frecuentes
1. No comprobar el signo de \(f'\) tras igualar a cero (puede ser inflexión, no extremo).
2. Olvidar la regla de la cadena al derivar funciones compuestas.
3. Calcular áreas sin verificar el signo de \(f\); el resultado debe ser positivo.
4. Confundir derivada de \(\ln x\) con \(\ln(x)/x\). Es \(1/x\).
5. Olvidar la constante \(C\) en las integrales indefinidas.
Problemas resueltos paso a paso
PEvAU — Beneficio máximo 2018OrdinariaMedio
Una empresa estima que el beneficio (en miles de €) al vender \(x\) unidades es \(B(x) = -x^2 + 40x - 100\), con \(x \ge 0\). Halla el número de unidades que maximiza el beneficio y el beneficio máximo.
1
Deriva B(x). ¿Cuánto es B'(x)? Plantéalo y luego pon abajo el valor de x* donde B'(x)=0.
2
Sustituye x* en B(x). ¿Cuánto vale el beneficio máximo (en miles de €)?
Ver solución completa
\(B'(x) = -2x + 40\). Igualando: \(-2x + 40 = 0 \Rightarrow x = 20\). \(B''(x) = -2 < 0\) → máximo.
\(B(20) = -400 + 800 - 100 = 300\) miles € = 300 000 €.
\(B(20) = -400 + 800 - 100 = 300\) miles € = 300 000 €.
PEvAU — Área entre curvas 2020ExtraordinariaAlta
Calcula el área de la región encerrada entre las curvas \(f(x) = x^2\) y \(g(x) = 2x\).
1
Halla los puntos de corte resolviendo \(x^2 = 2x\). El mayor de los dos cortes es:
2
Entre 0 y 2, la curva superior es g(x) = 2x. Calcula \(\int_0^2 (2x - x^2)\,dx\). Cuánto vale?
Ver solución completa
Cortes: \(x^2 = 2x \Rightarrow x(x-2) = 0 \Rightarrow x = 0, x = 2\).
En [0,2], \(g(x) = 2x \ge x^2 = f(x)\).
\(A = \displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}333\) u².
En [0,2], \(g(x) = 2x \ge x^2 = f(x)\).
\(A = \displaystyle\int_0^2 (2x - x^2)\,dx = \left[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}333\) u².
3. Derivada · polinomio
Halla \(f'(x)\) en \(x=2\) para \(f(x)=x^3-4x^2+5x-1\).
1
\(f'(x)=3x^2-8x+5\). Calcula \(f'(2)\).
4. Pendiente de la tangente
La curva \(f(x)=2x^2-3x+4\) en \(x=1\). Calcula la pendiente de la tangente.
1
\(f'(x)=4x-3\). Evalúa en \(x=1\).
5. Ecuación de la recta tangente
Para \(f(x)=x^2+3x-2\) en \(x=1\), halla el valor de \(f(1)\) y \(f'(1)\).
1
\(f(1)\) = ?
2
\(f'(x)=2x+3\) en \(x=1\).
6. Máximos y mínimos · derivada nula
\(f(x)=x^3-6x^2+9x+1\). Calcula el punto crítico mayor (\(x\) donde \(f'=0\)).
1
\(f'(x)=3x^2-12x+9\). Raíz mayor.
7. Crecimiento marginal
Una empresa tiene coste \(C(x)=0{,}5x^2+20x+100\). Coste marginal en \(x=40\).
1
\(C'(x)=x+20\). Evalúa en 40.
8. Elasticidad simple
Para \(q(p)=200-3p\), ¿cuántas unidades se venden cuando \(p=30\)?
1
Sustituye: \(q(30)\).
9. Integral indefinida (área)
Calcula \(\int_{0}^{2}(3x^2+2)\,dx\).
1
Antiderivada \(x^3+2x\). Evalúa en 2.
2
Evalúa en 0.
3
Diferencia (resultado).
10. Coste medio mínimo
Si \(C(x)=x^2+100\), el coste medio \(\bar C(x)=C(x)/x=x+100/x\). Halla el \(x\) que lo minimiza.
1
Derivada \(1-100/x^2=0\Rightarrow x=10\).
11. Función derivada en un punto
\(f(x)=e^{2x}\), \(f'(0)\) = ?
1
\(f'(x)=2e^{2x}\). En 0.
12. Optimización · ingreso máximo
Ingreso \(I(x)=-2x^2+60x\). ¿Para qué \(x\) es máximo?
1
\(I'(x)=-4x+60=0\). \(x\) = ?
2
Ingreso máximo \(I(15)\) en €.
13. Límite indeterminado 0/0
Calcula \(\lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{x-2}\).
1
Factoriza \((x-2)(x+2)\) y simplifica. Límite = ?
14. Beneficio máximo
\(B(x)=-x^2+100x-1500\). Halla el \(x\) que maximiza el beneficio.
1
\(B'(x)=-2x+100=0\). \(x\) = ?
2
Beneficio máximo (€).
15. Integral aplicada (área neta)
Halla \(\int_1^3 (2x-1)\,dx\).
1
Antiderivada \(x^2-x\). En 3: ?
2
En 1: ?
3
Diferencia.
Test de autoevaluación
1. \(\lim_{x\to\infty} \dfrac{3x^2+5}{x^2-1}\) vale:
2. La derivada de \(f(x) = (3x+1)^4\) es:
3. Si \(f'(x_0) = 0\) y \(f''(x_0) < 0\), entonces \(x_0\) es:
4. \(\int_0^3 (2x+1)\,dx\) vale:
5. Si una función es continua en [a,b] y derivable en (a,b), el teorema de Rolle garantiza:
Simuladores
Derivada en un punto: tangente gráfica
Función \(f(x)=ax^2+bx+c\). La recta tangente en \(x_0\) tiene pendiente \(f'(x_0)\).
Optimización: beneficio cuadrático
\(B(x) = -ax^2 + bx - c\). El vértice de la parábola da el beneficio máximo.
Banco de exámenes (MACS II)
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