Tema 1 · Programación lineal

Optimización de funciones lineales sujetas a restricciones lineales. El primer problema del examen PEvAU MACS II vale entre 2,5 y 3 puntos garantizados.

1. Inecuaciones lineales y semiplanos

Inecuación lineal en 2 variables Expresiones del tipo \(ax + by \le c\) (o \(\ge, <, >\)). Su solución gráfica es un semiplano: la recta \(ax+by=c\) más uno de sus dos lados.
Procedimiento
  1. Dibuja la recta \(ax+by=c\) (cortes con ejes).
  2. Toma un punto cualquiera fuera de la recta (lo más cómodo: \((0,0)\) si no pertenece).
  3. Sustituye en la inecuación: si se cumple → ese lado es la solución; si no, el opuesto.
Convenios PEvAU Casi siempre las variables son no negativas: \(x\ge0,\;y\ge0\). Esto restringe la región al primer cuadrante.

2. Sistemas de inecuaciones y región factible

Región factible Intersección de los semiplanos definidos por todas las restricciones. Si está acotada, es un polígono convexo con un número finito de vértices.
Cálculo de vértices Cada vértice es la intersección de dos rectas frontera (o de una recta con un eje). Se obtiene resolviendo el sistema 2×2 de las dos rectas que lo definen.

3. Función objetivo y vértices

Función objetivo \(z = px + qy\). Se quiere maximizar el beneficio o minimizar el coste.
Teorema fundamental (algoritmo de los vértices) Si la región factible es un polígono convexo acotado, la función objetivo alcanza su máximo y su mínimo en uno (o más) de sus vértices.
Truco rápido Calcula \(z\) en cada vértice y elige el mayor (max) o el menor (min). No hace falta más teoría.

4. Algoritmo de los vértices (resolución gráfica)

5 pasos canónicos PEvAU
  1. Define las variables \(x, y\) (qué representan).
  2. Plantea la función objetivo \(z = px + qy\).
  3. Plantea las restricciones (inecuaciones), incluyendo \(x\ge0,\;y\ge0\) si aplica.
  4. Dibuja la región factible y halla los vértices.
  5. Evalúa \(z\) en cada vértice. La solución óptima es el vértice con valor máximo/mínimo según pida el problema.

5. Casos especiales

Región no acotada Si la región es infinita, puede no haber máximo (o mínimo). Comprueba la dirección del vector gradiente \((p,q)\): si "se aleja" sin tope, el problema no tiene solución óptima en ese sentido.
Infinitas soluciones óptimas Si una arista del polígono es paralela a las rectas de nivel \(z=cte\), todos los puntos de esa arista son óptimos: hay infinitas soluciones.

6. Problemas tipo PEvAU (modelización)

Esquema "Una empresa fabrica dos productos A y B. Cada A da X € de beneficio y necesita Y horas; cada B da X' € de beneficio y necesita Y' horas. Dispone de Z horas y W kg de materia prima. Cuántos A y B debe producir para maximizar el beneficio."
Cómo extraer el modelo
  • \(x\) = unidades de A; \(y\) = unidades de B.
  • Beneficio: \(z = (\text{€ por A})\cdot x + (\text{€ por B})\cdot y\). Es la función objetivo a maximizar.
  • Restricciones: una por cada recurso limitado (horas, kg, dinero, capacidad…).
  • Siempre añade \(x\ge0,\;y\ge0\).

7. Errores frecuentes

1. Olvidar las restricciones de no negatividad \(x\ge0,\;y\ge0\).
2. Confundir el sentido de la inecuación al dibujar el semiplano (sustituye siempre un punto de prueba).
3. Evaluar \(z\) sólo en algunos vértices y no en todos.
4. Resolver el sistema de las rectas equivocadas al hallar un vértice. Identifica claramente qué dos rectas se cortan en cada vértice.
5. Olvidar dar la interpretación del óptimo en términos del enunciado (ejemplo: "se deben fabricar 30 unidades de A y 50 de B con un beneficio máximo de 1100 €").

Problemas resueltos paso a paso

PEvAU — Fabricación de mesas y sillas 2019OrdinariaMedio

Un taller fabrica mesas y sillas. Cada mesa requiere 2 h de carpintería y 1 h de pintura; cada silla, 1 h de carpintería y 1 h de pintura. Dispone de 8 h de carpintería y 5 h de pintura. El beneficio es 40 € por mesa y 30 € por silla. ¿Cuántas mesas y sillas debe fabricar para maximizar el beneficio?
1
Restricción de carpintería: \(2x+y\le 8\). Calcula el corte con el eje X (cuando \(y=0\)).
2
Vértice intersección de \(2x+y=8\) con \(x+y=5\). Resuelve el sistema y da el valor de x.
3
Evalúa z = 40x + 30y en ese vértice (3,2). ¿Cuánto vale z?
Ver solución completa
Variables: x = mesas, y = sillas.
Objetivo: max z = 40x + 30y.
Restricciones: 2x + y ≤ 8 (carpintería); x + y ≤ 5 (pintura); x ≥ 0; y ≥ 0.
Vértices: (0,0), (4,0), (3,2), (0,5).
Valores de z: 0, 160, 180, 150.
Óptimo: 3 mesas y 2 sillas, beneficio 180 €.

PEvAU — Mezcla de fertilizantes (minimización) 2021ExtraordinariaAlta

Un jardinero necesita preparar al menos 60 kg de fertilizante con un mínimo de 12 kg de nitrógeno y 9 kg de fósforo. Cada kg del tipo A cuesta 4 € y aporta 0,2 kg de N y 0,1 kg de P; cada kg del tipo B cuesta 6 € y aporta 0,1 kg de N y 0,3 kg de P. Minimiza el coste.
1
Restricción de nitrógeno: 0,2x + 0,1y ≥ 12 → 2x + y ≥ 120. Si y = 0, ¿cuánto vale x?
2
Vértice intersección de 2x + y = 120 con x + 3y = 90 (fósforo). Calcula x.
3
Evalúa z = 4x + 6y en (54, 12). ¿Coste?
Ver solución completa
Variables: x = kg de A, y = kg de B.
Objetivo: min z = 4x + 6y.
Restricciones: 2x + y ≥ 120 (N×10); x + 3y ≥ 90 (P×10); x ≥ 0; y ≥ 0.
Vértices candidatos: (90,0), (54,12), (0,120).
Valores de z: 360, 288, 720.
Óptimo: 54 kg de A y 12 kg de B; coste mínimo 288 €.
Nótese que la suma 54 + 12 = 66 ≥ 60 (también se cumple la restricción de peso total).

3. Maximización · vértice óptimo

Una fábrica produce x mesas (15 €/u) e y sillas (10 €/u). Restricciones: \(x+y\le 60\), \(2x+y\le 80\), \(x,y\ge0\). Maximiza la función objetivo \(z=15x+10y\).
1
Calcula la intersección de \(x+y=60\) y \(2x+y=80\): obtén \(x\).
2
Halla la \(y\) en ese vértice.
3
Valor de \(z\) en el vértice óptimo (€).

4. Dieta mínima

Un nutricionista mezcla x kg de cereal A (2 €/kg) e y kg de cereal B (3 €/kg). Necesita \(x+y\ge10\) kg y \(3x+y\ge18\) g de proteína. Minimiza \(z=2x+3y\).
1
Intersección de \(x+y=10\) y \(3x+y=18\) → \(x\)=?
2
\(y\) en ese punto.
3
Coste mínimo \(z\) en €.

5. Región factible — vértices

Sea la región \(x\ge0,\;y\ge0,\;x+2y\le 12,\;3x+y\le 15\). Halla el vértice interior (intersección de las dos rectas inclinadas).
1
Intersección de \(x+2y=12\) y \(3x+y=15\): \(x\)=?
2
\(y\) en ese vértice.

6. Maximización de beneficios

Una empresa fabrica x sillas (8 € beneficio) e y mesas (12 €). Restricciones: \(3x+5y\le 60\) (horas) y \(2x+2y\le 30\) (madera). Halla el beneficio máximo evaluando los vértices.
1
Intersección \(3x+5y=60\) y \(2x+2y=30\): \(x\)=?
2
\(y\) en ese punto.
3
Beneficio en el vértice \(z=8x+12y\) en €.

7. Transporte simplificado

Una empresa transporta x cajas tipo A (5 €) e y cajas tipo B (8 €). Capacidad: \(x+y\le 50\); volumen: \(2x+3y\le 120\). Maximiza ingreso \(z=5x+8y\).
1
Vértice de \(x+y=50\), \(2x+3y=120\): \(x\)=?
2
\(y\) en ese vértice.
3
Ingreso máximo en €.

8. Recta de nivel

Para \(z=4x+3y\), la recta de nivel \(z=24\) corta al eje X en \(x=\) ? y al eje Y en \(y=\) ?
1
Corte eje X (y=0): \(x=z/4\).
2
Corte eje Y (x=0): \(y=z/3\).

9. Solución única en vértice

Función \(z=3x+y\) en la región \(x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le 10,\;x\le 7\). El máximo está en (7, 3). Calcula \(z\) ahí y en (0,10).
1
\(z\) en (7,3).
2
\(z\) en (0,10).

10. Pendiente de la recta objetivo

Dada \(z=5x+2y\), la recta de nivel tiene pendiente \(m\) (despeja \(y\) en función de \(x\)).
1
\(m=-5/2=-2{,}5\) (introduce el valor).

11. Distribución óptima recursos

Una panadería produce x panes (1,2 € beneficio) e y bollos (0,8 €). Restricciones: \(x+2y\le 200\) (horno), \(3x+y\le 300\) (masa). Halla el vértice interior y el beneficio.
1
Intersección: \(x\)=?
2
\(y\) en ese vértice.
3
Beneficio \(z=1{,}2x+0{,}8y\) en €.

12. Restricción redundante

En la región \(x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le 10,\;x+y\le 20\), ¿cuál es el límite efectivo de \(x+y\)?
1
Introduce el valor de la restricción activa.

13. Vértice óptimo en eje

Para \(z=4x+y\) en \(x\ge0,\;y\ge0,\;2x+y\le 16,\;x\le 5\), el máximo está en (5, 6). Calcula \(z\).
1
\(z\) en (5, 6).

14. Producción y empleo

Una fábrica decide x turnos diurnos (200 € beneficio) e y turnos nocturnos (300 €). Restricciones: \(x+y\le 20\) y \(2x+3y\le 48\). Maximiza el beneficio.
1
Intersección: \(x\)=?
2
\(y\) en ese vértice.
3
Beneficio máximo en €.

15. Mínimo en problema de mezcla

Para \(z=10x+15y\) en la región \(x+y\ge 8,\;2x+y\ge 10,\;x,y\ge0\), evalúa el vértice intersección.
1
Intersección \(x+y=8\) y \(2x+y=10\): \(x\)=?
2
\(y\) en ese vértice.
3
\(z\) mínimo.

Test de autoevaluación

1. En un problema de programación lineal con región factible acotada, el óptimo de la función objetivo se alcanza siempre en:

2. La región factible del sistema \(\{x+y\le 4,\;x\ge0,\;y\ge0\}\) tiene:

3. Si la región factible es no acotada y la función objetivo es z = x + y a maximizar:

4. Si dos rectas frontera son paralelas a las rectas de nivel \(z=cte\):

5. Dadas las restricciones \(x+2y\le 10\) y \(3x+y\le 12\) con \(x,y\ge0\), ¿cuál es el vértice intersección de las dos rectas no triviales?

Simuladores

Región factible con dos restricciones (manipulable)

Mueve los coeficientes de las restricciones \(ax+by\le c\) y \(dx+ey\le f\) (con \(x,y\ge0\)) y observa cómo cambia la región factible. La función objetivo es \(z = px + qy\) (a maximizar).

Curvas de nivel de la función objetivo

Visualiza cómo las rectas \(z=cte\) se desplazan dentro de la región. El óptimo es donde la última recta de nivel toca la región factible.

Banco de exámenes (MACS II)

Cargando…

Ver banco completo →

Generador aleatorio