1. Movimiento armónico simple
Definición
Un cuerpo describe un MAS cuando la aceleración es proporcional y opuesta a la elongación:
\[ a = -\omega^2 x \quad\Leftrightarrow\quad x(t)=A\cos(\omega t + \varphi_0) \]
donde \(\omega = 2\pi/T = 2\pi f\) es la pulsación.
Velocidad y aceleración
\[ v(t) = -A\omega\sin(\omega t+\varphi_0),\qquad a(t)=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi_0) \]
\[ v_{\max} = A\omega,\qquad a_{\max}=A\omega^2 \]
Muelle ideal
\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} \]
Independiente de la amplitud.
2. Energía en el MAS
Conservación
\[ E = E_c + E_p = \tfrac12 k A^2 = \tfrac12 m\omega^2 A^2 \]
Es constante. Se intercambia continuamente entre cinética y potencial.
En cualquier instante
\[ E_c = \tfrac12 m v^2 = \tfrac12 k (A^2 - x^2),\qquad E_p = \tfrac12 k x^2 \]
3. Ondas armónicas progresivas
Ecuación de onda
\[ y(x,t) = A\sin\!\left(\omega t - k x\right),\qquad k=\frac{2\pi}{\lambda},\quad \omega=\frac{2\pi}{T} \]
Relación fundamental
\[ v = \lambda f = \frac{\omega}{k} \]
La velocidad la fija el medio; la frecuencia, el foco.
Simulador — onda armónica progresiva
Mueve los parámetros y observa la onda en \(t=0\) y \(t=T/4\).
4. Sonido — intensidad y nivel sonoro
Intensidad de una onda esférica
\[ I = \frac{P}{4\pi r^2}\qquad [\mathrm{W/m^2}] \]
Disminuye como \(1/r^2\).
Nivel de intensidad sonora
\[ \beta = 10\log_{10}\!\left(\frac{I}{I_0}\right)\;\mathrm{dB},\quad I_0 = 10^{-12}\;\mathrm{W/m^2} \]
Doblar la intensidad ⇒ \(+3\) dB. Multiplicarla por 10 ⇒ \(+10\) dB.
5. Errores frecuentes (corrección PEvAU)
1. Olvidar el \(2\pi\) al pasar entre \(f\) y \(\omega\), o entre \(\lambda\) y \(k\).
2. Confundir \(v\) de una onda con \(v_{\max}\) del punto que oscila (no son lo mismo).
3. Sumar decibelios como si fueran intensidades.
4. Tomar \(T\) del muelle dependiente de la amplitud.
Problemas resueltos paso a paso
PEvAU 2024 (ordinaria) — MAS 2024 Ordinaria Fácil
Una masa de \(m = 0{,}25\;\mathrm{kg}\) cuelga de un muelle de constante \(k = 100\;\mathrm{N/m}\).
La masa se desplaza \(A = 5\;\mathrm{cm}\) y se suelta. Calcula:
a) el periodo del movimiento; b) la velocidad máxima; c) la energía mecánica.
1
\(T = 2\pi\sqrt{m/k}\). En segundos (3 decimales).
2
\(v_{\max} = A\omega = A\sqrt{k/m}\). En m/s.
3
\(E = \tfrac12 k A^2\). En joules.
Ver solución completa
\(T = 2\pi\sqrt{0{,}25/100} = 0{,}314\) s.
\(\omega = 2\pi/T \approx 20\) rad/s; \(v_{\max} = 0{,}05\cdot 20 = 1{,}0\) m/s.
\(E = \tfrac12\cdot 100\cdot 0{,}05^2 = 0{,}125\) J.
\(\omega = 2\pi/T \approx 20\) rad/s; \(v_{\max} = 0{,}05\cdot 20 = 1{,}0\) m/s.
\(E = \tfrac12\cdot 100\cdot 0{,}05^2 = 0{,}125\) J.
PEvAU 2020 — Sonido 2020 Extraordinaria Medio
Un altavoz emite con potencia acústica \(P = 2{,}0\;\mathrm{W}\) en todas direcciones.
¿Cuál es el nivel sonoro \(\beta\) (dB) a una distancia \(r=10\;\mathrm{m}\)? Datos: \(I_0 = 10^{-12}\;\mathrm{W/m^2}\).
1
\(I = P/(4\pi r^2)\). En W/m² (notación científica).
2
\(\beta = 10\log_{10}(I/I_0)\). En dB (1 decimal).
Ver solución completa
\(I = 2/(4\pi\cdot 100) \approx 1{,}59\cdot10^{-3}\) W/m².
\(\beta = 10\log_{10}(1{,}59\cdot10^{-3}/10^{-12}) \approx 92{,}0\) dB.
\(\beta = 10\log_{10}(1{,}59\cdot10^{-3}/10^{-12}) \approx 92{,}0\) dB.
3. MAS — frecuencia desde periodo
Un MAS tiene \(T=0{,}25\) s. Calcula la frecuencia y la pulsación.
1
\(f=1/T\) en Hz.
2
\(\omega=2\pi f\) en rad/s.
4. MAS — energía mecánica
Un cuerpo de \(m=0{,}2\) kg en MAS con \(A=0{,}10\) m y \(\omega=20\) rad/s. Calcula la energía mecánica.
1
\(E=\tfrac12 m\omega^2 A^2\) en J.
5. Velocidad máxima en MAS
Un péndulo simple oscila con \(A=5\) cm y \(T=2\) s. Calcula \(v_{max}\).
1
\(\omega=2\pi/T\) en rad/s.
2
\(v_{max}=\omega A\) en m/s.
6. Onda armónica — longitud y velocidad
Una onda transversal tiene \(f=50\) Hz y \(\lambda=4\) m. Calcula su velocidad.
1
\(v=\lambda f\) en m/s.
7. Onda — número de onda y pulsación
Una onda tiene \(\lambda=2\) m y \(T=0{,}1\) s. Calcula \(k\) y \(\omega\).
1
\(k=2\pi/\lambda\) en rad/m.
2
\(\omega=2\pi/T\) en rad/s.
8. Cuerda — velocidad de propagación
Una cuerda tensa con \(T=80\) N y densidad lineal \(\mu=0{,}02\) kg/m. Calcula la velocidad de las ondas transversales.
1
\(v=\sqrt{T/\mu}\) en m/s.
9. Sonido — intensidad y dB
Una fuente emite con intensidad \(I=10^{-4}\) W/m². Calcula el nivel sonoro en dB. \(I_0=10^{-12}\) W/m².
1
\(\beta=10\log_{10}(I/I_0)\) en dB.
10. Sonido — intensidad a partir de dB
Un sonido se mide a 60 dB. Calcula la intensidad en W/m².
1
Despeja \(I=I_0 10^{\beta/10}\) en W/m² (notación científica).
11. Efecto Doppler — emisor en reposo
Una sirena de \(f_0=440\) Hz oye un observador que se acerca a \(v_o=20\) m/s. \(v_s=340\) m/s. Calcula \(f'\).
1
\(f'=f_0(v_s+v_o)/v_s\) en Hz.
12. Onda estacionaria — armónicos cuerda
Una cuerda de \(L=1\) m fija en ambos extremos resuena en su fundamental a \(f_1=200\) Hz. ¿Cuál es la velocidad de propagación?
1
\(f_1=v/(2L)\Rightarrow v=2Lf_1\) en m/s.
13. Energía media en MAS
Mismo cuerpo MAS con \(m=0{,}5\) kg, \(A=0{,}08\) m, \(T=0{,}4\) s. Halla \(E\).
1
\(\omega=2\pi/T\) en rad/s.
2
\(E=\tfrac12 m\omega^2 A^2\) en J.
14. Período del péndulo
Calcula el periodo de un péndulo simple de \(L=1{,}5\) m en \(g=9{,}81\) m/s².
1
\(T=2\pi\sqrt{L/g}\) en s.
15. Sonido — distancia a la fuente
Una fuente puntual emite \(P=2\) W uniformemente. Calcula la intensidad a \(r=10\) m.
1
\(I=P/(4\pi r^2)\) en W/m².
Test de autoevaluación
1. Si se duplica la amplitud de un MAS:
2. La velocidad de propagación de una onda en un medio:
3. Si la intensidad de una onda sonora se multiplica por 100, el nivel sonoro aumenta en:
4. El número de onda \(k\) vale:
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