1. Ley de gravitación universal de Newton
Enunciado
La fuerza gravitatoria entre dos masas \(m_1\) y \(m_2\) separadas una distancia \(r\) es atractiva y vale
\[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}, \qquad G = 6{,}67\cdot10^{-11}\;\mathrm{N\cdot m^2 / kg^2} \]
Campo y potencial
Campo gravitatorio creado por una masa \(M\) a distancia \(r\):
\[ \vec g = -\frac{GM}{r^2}\,\hat u_r,\qquad V = -\frac{GM}{r} \]
El signo \(-\) en \(V\) indica que el infinito es el cero de potencial.
Error frecuente
No confundir potencial \(V\) (J/kg) con energía potencial \(E_p = mV\) (J).
En PEvAU Andalucía caen los dos casi cada año y la confusión cuesta entre 0,5 y 1 punto.
2. Energía potencial y conservación
Energía potencial gravitatoria
\[ E_p = -\frac{G\,M\,m}{r} \]
Es siempre negativa con el convenio del infinito.
Energía mecánica en órbita circular
\[ E_m = E_c + E_p = -\frac{GMm}{2r} \]
Por eso para "escapar" se necesita aportar \(|E_p(R)|\) de energía mínima.
3. Órbitas circulares: velocidad orbital y velocidad de escape
Velocidad orbital circular
Imponiendo que la fuerza gravitatoria sea la centrípeta:
\[ \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \;\Rightarrow\; \boxed{\;v_{\rm orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}}\;} \]
Velocidad de escape
Energía mecánica = 0 en el infinito:
\[ \tfrac12 m v_e^2 = \frac{GMm}{R}\;\Rightarrow\; \boxed{\;v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\;} \]
Para la Tierra: \(v_e \approx 11{,}2\;\mathrm{km/s}\).
Calculadora — velocidad orbital y de escape
Pulsa "Calcular" para ver \(v_{\rm orb}\), \(v_e\) y \(T\).
4. Leyes de Kepler
1ª — Órbitas elípticas: los planetas describen elipses con el Sol en uno de los focos.
2ª — Áreas iguales en tiempos iguales: conservación del momento angular.
3ª — Periodos y semiejes:
\[ \frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{GM} \]
Útil para deducir \(M\) a partir de \(T\) y \(a\) de un satélite conocido.
5. Errores frecuentes (corrección PEvAU)
1. Usar \(r = R\) en vez de \(r = R + h\) para satélites en órbita.
2. Olvidar el signo \(-\) en \(V\) y \(E_p\).
3. Confundir \(v_{\rm orb}\) con \(v_e\) (factor \(\sqrt 2\)).
4. Aplicar Kepler con masas equivocadas (usar la del Sol cuando el satélite orbita la Tierra).
Problemas resueltos paso a paso
El sistema te guía hasta la solución exacta. Si te atascas, pide pista.
PEvAU 2024 (ordinaria) — Problema 1 2024 Ordinaria Medio
Un satélite de masa \(m = 500\;\mathrm{kg}\) orbita la Tierra a una altura \(h = 600\;\mathrm{km}\) sobre la superficie.
Datos: \(M_T = 5{,}972\cdot10^{24}\;\mathrm{kg}\), \(R_T = 6{,}371\cdot10^{6}\;\mathrm{m}\), \(G = 6{,}67\cdot10^{-11}\).
Calcula: a) la velocidad orbital; b) el periodo; c) la energía mecánica.
1
Distancia al centro: \(r = R_T + h\). Introduce \(r\) en metros.
2
Aplica \(v_{\rm orb} = \sqrt{GM/r}\). Introduce v en m/s (redondea al entero).
3
Periodo \(T = 2\pi r / v\). En segundos.
4
Energía mecánica \(E_m = -GMm/(2r)\). En joules (notación científica).
Ver solución completa
Solución
\(r = 6{,}971\cdot10^{6}\) m. \(v = \sqrt{GM/r} \approx 7558\) m/s.
\(T = 2\pi r / v \approx 5797\) s ≈ 96,6 min.
\(E_m = -\tfrac12 GMm/r \approx -1{,}428\cdot10^{10}\) J.
\(T = 2\pi r / v \approx 5797\) s ≈ 96,6 min.
\(E_m = -\tfrac12 GMm/r \approx -1{,}428\cdot10^{10}\) J.
2. ISS — velocidad orbital
La Estación Espacial Internacional orbita a \(h=400\) km sobre la Tierra. Datos: \(M_T=5{,}972\cdot10^{24}\) kg, \(R_T=6{,}371\cdot10^6\) m, \(G=6{,}674\cdot10^{-11}\). Calcula su velocidad orbital y el periodo.
1
Radio orbital \(r=R_T+h\) en metros.
2
Velocidad orbital \(v=\sqrt{GM/r}\) en m/s.
3
Periodo \(T=2\pi r/v\) en segundos.
3. Satélite geoestacionario — radio orbital
Un satélite geoestacionario tiene \(T=86\,164\) s (día sidéreo). Halla su altura sobre la Tierra. Datos: \(GM=3{,}986\cdot10^{14}\) m³/s², \(R_T=6{,}371\cdot10^6\) m.
1
Despeja \(r=\sqrt[3]{GMT^2/(4\pi^2)}\) en metros.
2
Altura \(h=r-R_T\) en km.
4. Velocidad de escape — Luna
Calcula la velocidad de escape desde la superficie de la Luna. \(M_L=7{,}349\cdot10^{22}\) kg, \(R_L=1{,}737\cdot10^6\) m.
1
Aplica \(v_e=\sqrt{2GM/R}\) en m/s.
2
Expresa en km/s.
5. Energía mecánica de un satélite
Un satélite de \(m=1000\) kg orbita a \(h=2000\) km de la Tierra. Calcula su energía mecánica.
1
Radio orbital \(r=R_T+h\) en m.
2
\(E_m=-GMm/(2r)\) en joules (notación científica).
6. Trabajo de la fuerza gravitatoria
¿Qué trabajo realiza el campo gravitatorio terrestre sobre un satélite de \(m=500\) kg al subirlo desde \(h_1=200\) km hasta \(h_2=2000\) km?
1
Potencial inicial \(V_1=-GM/(R_T+h_1)\) en J/kg.
2
Potencial final \(V_2=-GM/(R_T+h_2)\) en J/kg.
3
Trabajo \(W=-m\,\Delta V\) en J.
7. Tercera ley de Kepler — Marte
Marte orbita el Sol a \(a=1{,}524\) UA. Calcula su periodo en años terrestres usando la 3ª ley de Kepler con \(a\) en UA y \(T\) en años.
1
Por Kepler: \(T^2=a^3\). Calcula \(T\) en años.
8. Gravedad en otro planeta
Júpiter tiene \(M_J=1{,}898\cdot10^{27}\) kg y \(R_J=6{,}9911\cdot10^7\) m. Calcula la gravedad en su «superficie» (capa de nubes).
1
\(g=GM/R^2\) en m/s².
9. Masa de la Tierra desde g
Conocidos \(g=9{,}81\) m/s² y \(R_T=6{,}371\cdot10^6\) m, deduce la masa de la Tierra.
1
Despeja \(M=gR^2/G\) en kg.
10. Energía mínima para escapar
¿Qué energía cinética mínima necesita un cohete de \(m=2000\) kg para escapar de la Tierra desde la superficie?
1
Velocidad de escape \(v_e=\sqrt{2GM/R_T}\) en m/s.
2
Energía cinética \(E_c=\tfrac12 m v_e^2\) en J.
11. Órbita de transferencia (Hohmann)
Un satélite ha de pasar de órbita baja \(r_1=R_T+300\) km a geoestacionaria \(r_2=4{,}216\cdot10^7\) m. Halla el semieje mayor de la elipse de Hohmann.
1
Semieje \(a=(r_1+r_2)/2\) en m.
12. Tiempo de caída libre — Galileo
Una piedra cae desde \(h=80\) m. ¿Cuánto tarda en llegar al suelo? Aproxima \(g=9{,}81\) m/s².
1
De \(h=\tfrac12 g t^2\), despeja \(t\) en s.
13. Comparación órbitas — periodo
Dos satélites tienen periodos \(T_1\) y \(T_2\) con radios \(r_1=R_T+400\) km y \(r_2=R_T+800\) km. Halla la razón \(T_2/T_1\) (sin unidad).
1
Por Kepler \(T\propto r^{3/2}\): calcula \(T_2/T_1\).
14. Aproximación de Schwarzschild — agujero negro
Un objeto de masa solar (\(M_\odot=1{,}989\cdot10^{30}\) kg) tiene radio de Schwarzschild \(r_s=2GM/c^2\) con \(c=3\cdot10^8\) m/s. Calcula \(r_s\) en km.
1
\(r_s=2GM/c^2\) en m.
2
Pasa a km.
15. Energía potencial gravitatoria — caída libre
Un meteorito de \(m=5\) kg cae desde el infinito hasta \(R_T\) sobre la Tierra. Calcula la energía cinética con la que llega.
1
Por conservación: \(E_c=GMm/R_T\) en J.
Test de autoevaluación
1. La velocidad orbital de un satélite a doble radio orbital es:
2. La energía mecánica de un satélite en órbita circular es:
3. ¿Cuál es la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra (aprox.)?
Simulador interactivo
Cambia M, R y h para ver cómo varían la velocidad orbital, el periodo y la aceleración de la gravedad en el satélite.
Órbita circular
g(h) — gravedad con la altura
Banco de exámenes (Física)
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