1. Planos de proyección y línea de tierra
Planos H y V
El plano horizontal H (suelo) y el plano vertical V (mural) son perpendiculares y se cortan en la línea de tierra (LT). Dividen el espacio en cuatro cuadrantes (I, II, III, IV).
Por convención
El cuadrante I tiene cota positiva (sobre H) y alejamiento positivo (delante de V). Es donde se sitúan los problemas estándar de PEvAU. La proyección horizontal se llama A (planta) y la vertical A″ (alzado).
Tercer plano
A veces se añade un plano de perfil P, perpendicular a H y V, que produce la proyección de perfil A‴.
2. El punto: cota, alejamiento y cuadrantes
Cota (z)
Distancia del punto al plano H. Positiva si está por encima.
Alejamiento (y)
Distancia del punto al plano V. Positiva si está delante.
Cuadrantes
I: z > 0, y > 0 (estándar).
II: z > 0, y < 0 (detrás del mural).
III: z < 0, y < 0 (bajo el suelo, detrás).
IV: z < 0, y > 0 (bajo el suelo, delante).
II: z > 0, y < 0 (detrás del mural).
III: z < 0, y < 0 (bajo el suelo, detrás).
IV: z < 0, y > 0 (bajo el suelo, delante).
Coincidencias en el papel diédrico
Si z = 0: el punto está en H, A″ cae sobre LT. Si y = 0: el punto está en V, A cae sobre LT. Si ambos son 0: el punto está en LT y las dos proyecciones coinciden.
3. La recta: trazas y posiciones
Trazas
Puntos donde la recta corta a H (traza horizontal h) y a V (traza vertical v). Para rectas oblicuas hay siempre dos trazas distintas.
Posiciones notables
Horizontal: paralela a H (sin traza horizontal). Frontal: paralela a V (sin traza vertical). De punta: perpendicular a V. Vertical: perpendicular a H. Paralela a LT: paralela a ambos. De perfil: pertenece a un plano de perfil; necesita una tercera proyección para definirse.
4. El plano: trazas y rectas notables
Trazas del plano
Líneas en que el plano corta a H (traza horizontal α₁) y a V (traza vertical α₂). Se cortan en LT salvo que sea paralelo a LT.
Rectas notables
Horizontales del plano: rectas del plano paralelas a H (cota constante). Frontales: paralelas a V. De máxima pendiente (MPi): perpendicular a la traza horizontal — define la pendiente del plano respecto a H. De máxima inclinación: análoga respecto a V.
5. Intersecciones
Recta ∩ plano
Se busca un plano auxiliar (proyectante) que contenga la recta. La intersección de ese plano auxiliar con el plano dado es una recta del plano. La intersección de esta recta con la recta original es el punto buscado.
Plano ∩ plano
La recta común se obtiene uniendo las intersecciones de las trazas homónimas: la intersección de las dos trazas horizontales da un punto, idem las verticales. Esos dos puntos definen la recta intersección.
6. Abatimientos y verdadera magnitud
Abatimiento
Rotar un plano oblicuo alrededor de una de sus trazas hasta que coincida con H (o V). Permite ver el plano en verdadera magnitud y dibujar figuras planas (polígonos, circunferencias) en él.
Charnela
Es la traza alrededor de la que se gira. Cualquier punto del plano describe un arco perpendicular a esa traza al abatirse. El radio del arco es la distancia real del punto a la traza, calculable con un triángulo de cota.
Verdadera magnitud
Una recta se ve en verdadera magnitud sobre el plano paralelo a ella (las rectas horizontales se ven en VM en planta; las frontales, en alzado). Las oblicuas requieren abatimiento o giro.
7. Errores frecuentes
1. Confundir cota (distancia a H) con alejamiento (distancia a V).
2. No revisar el cuadrante: un punto con y negativa pertenece al II o III, no al I.
3. Olvidar que las proyecciones de un mismo punto están alineadas en una recta perpendicular a LT (la línea de referencia).
4. En abatimientos, girar en sentido equivocado y obtener una imagen especular del polígono.
5. Confundir traza vertical de la recta (un punto) con traza vertical del plano (una recta).
Problemas resueltos paso a paso
PEvAU — Distancia real de un punto a la LT 2018OrdinariaMedio
Un punto P tiene cota \(z = 30\) mm y alejamiento \(y = 40\) mm (cuadrante I). Calcula la distancia real de P a la línea de tierra.
1
La distancia es la hipotenusa del triángulo rectángulo (cota, alejamiento). Aplica Pitágoras.
Ver solución completa
\(d = \sqrt{z^2 + y^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900+1600} = \sqrt{2500} = \mathbf{50}\) mm.
PEvAU — Verdadera magnitud de un segmento oblicuo 2020ExtraordinariaAlta
Un segmento AB tiene proyección horizontal de 60 mm y los extremos están a cotas \(z_A = 20\) mm y \(z_B = 50\) mm. Calcula la verdadera magnitud de AB.
1
La diferencia de cotas Δz vale...
2
VM = √(proy² + Δz²) (triángulo de cota).
Ver solución completa
\(\Delta z = z_B - z_A = 50 - 20 = 30\) mm.
Triángulo de cota: hipotenusa = \(\sqrt{60^2 + 30^2} = \sqrt{3600+900} = \sqrt{4500} = \mathbf{67{,}08}\) mm.
Triángulo de cota: hipotenusa = \(\sqrt{60^2 + 30^2} = \sqrt{3600+900} = \sqrt{4500} = \mathbf{67{,}08}\) mm.
3. Distancia a LT
Punto P(40, 30, 50): abscisa 40, alejamiento 30, cota 50. Distancia a la LT.
1
\(d=\sqrt{a^2+c^2}\) (no cuenta la abscisa).
4. Cuadrante por signos
Punto con alejamiento −20, cota +35. ¿Cuadrante? (introduce 1, 2, 3 o 4).
1
Aleja −, cota + ⇒ cuadrante II.
5. Verdadera magnitud por triángulo de cota
Proyección horizontal 60 mm, Δz = 25 mm. VM en mm.
1
\(\sqrt{60^2+25^2}\).
6. Recta horizontal — pendiente 0
Una recta horizontal tiene cota constante 40. ¿Cuál es su inclinación respecto al plano H? (en grados).
1
Una horizontal tiene 0°.
7. Recta de máxima pendiente
Plano cuya traza horizontal forma 30° con LT. Pendiente de la recta máxima pendiente respecto H = ?
1
Es 90°−inclinación... en este caso el ángulo respecto H es 30° (porque la traza es la propia inclinación).
8. Punto en la LT
Si un punto está sobre LT, alejamiento y cota son…
1
Ambos = 0.
9. Inclinación de una recta
Recta con Δz=40 mm en una proyección horizontal de 30 mm. Ángulo con H.
1
\(\arctan(40/30)\) en grados.
10. Distancia entre dos puntos en cuadrante I
A(0,0,0) y B(60,40,30). Distancia 3D.
1
\(\sqrt{60^2+40^2+30^2}\).
11. Cuadrante II — punto
Punto con cota +25 y alejamiento −40. Distancia a LT (no depende de abscisa).
1
\(\sqrt{40^2+25^2}\).
12. Abatimiento de plano oblicuo
Plano oblicuo con traza horizontal a 45° de LT. Abate sobre H rotando 90° (un punto a alejamiento 30 cae a distancia 30 en H).
1
Distancia tras abatimiento = alejamiento.
13. Altura sobre H — sólido prismático
Cubo de arista 50 mm apoyado en H. Cota de la cara superior.
1
Arista vertical.
14. Cambio de plano
Tras cambio de plano vertical, la cota del punto se mantiene. Si cota=70, cota tras cambio.
1
Sin cambio.
15. Pirámide — altura desde diagonal
Pirámide regular cuadrangular base 60 mm, arista lateral 80 mm. Altura.
1
Semidiagonal d/2 = (60√2)/2 ≈ 42,43 mm.
2
Altura \(\sqrt{80^2-42{,}43^2}\).
Test de autoevaluación
1. La cota de un punto en diédrico es:
2. Las proyecciones horizontal y vertical de un mismo punto están unidas por:
3. Una recta frontal es paralela:
4. El abatimiento de un plano alrededor de su traza horizontal sirve para:
5. Un punto con cota positiva y alejamiento negativo está en el cuadrante:
Simuladores
Visor 3D · Punto en cuadrante I (planta + alzado + perfil)
Ajusta cota (z), alejamiento (y) y abscisa (x) y observa cómo se proyectan en cada plano. Cuadrante y distancia a LT calculados.
…
Triángulo de cota · Verdadera magnitud
Slider para proyección horizontal y diferencia de cotas. Calcula VM = √(proy² + Δz²).
Banco de exámenes (Dibujo Técnico II)
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