Tema 1 · Geometría plana · Dibujo Técnico II PEVAU

Sub-tema:

1. Lugares geométricos básicos

Mediatriz Lugar de los puntos equidistantes de dos dados A y B. Es la perpendicular al segmento AB por su punto medio. Se construye con arcos de radio > AB/2 desde A y B.

Bisectriz Lugar de los puntos equidistantes de dos rectas concurrentes. Se obtiene trazando una circunferencia con centro en el vértice y, desde los cortes con las rectas, dos arcos iguales que se cruzan.

Circunferencia Lugar de puntos a distancia constante r de un punto O. Ecuación: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\).

Recta paralela a otra a distancia d Trazar dos arcos de radio d sobre la recta dada y unir las cuerdas perpendiculares.

2. Transformaciones

Igualdad y semejanza Dos figuras son iguales si tienen lados y ángulos idénticos; son semejantes si comparten ángulos y los lados son proporcionales (razón k).

Homotecia Transformación afín de centro O y razón k. Cada punto P se transforma en P′ alineado con O tal que \(\overrightarrow{OP'} = k\cdot\overrightarrow{OP}\). Conserva ángulos y razones. Si k<0 invierte sentido. Si \(|k|=1\) es una identidad o simetría central.

Inversión Centro O y potencia p. Cada P se transforma en P′ alineado con O tal que \(OP\cdot OP' = p\). Transforma rectas que no pasan por O en circunferencias que pasan por O y viceversa. Útil para tangencias.

Convenio En PEvAU se usa centro de homotecia + razón explícita. Si k es positiva los puntos quedan del mismo lado de O.

3. Potencia, eje y centro radical

Potencia de un punto respecto a una circunferencia \(\text{Pot}(P) = d^2 - r^2\), donde d es la distancia de P al centro O y r es el radio. Si P es exterior es positiva, si está dentro es negativa, en la circunferencia es 0.

Eje radical Lugar de puntos con igual potencia respecto a dos circunferencias. Si las circunferencias se cortan, es la recta que une los puntos comunes; si no, se traza una auxiliar que las corte a ambas y se unen los ejes radicales parciales.

Centro radical Punto con igual potencia respecto a tres circunferencias. Intersección de los tres ejes radicales tomados de dos en dos.

4. Arco capaz

Definición Lugar geométrico de los puntos del plano desde los que se ve un segmento AB bajo un ángulo \(\alpha\) constante.

Construcción clásica 1) Trazar la mediatriz de AB. 2) Por A levantar una semirrecta que forme con AB el ángulo complementario (90° − α) si α < 90°. 3) La perpendicular a esa semirrecta por A corta a la mediatriz en O, centro del arco. 4) Trazar el arco con centro O y radio OA.

Caso particular Para \(\alpha = 90°\) el arco capaz es la semicircunferencia con AB como diámetro (teorema de Tales).

5. Tangencias entre rectas y circunferencias

Recta tangente a una circunferencia Es perpendicular al radio en el punto de tangencia T. Para una recta tangente exterior por un punto P: se traza la mediatriz de OP; con centro en su punto medio y radio OP/2 se obtiene una circunferencia auxiliar que corta a la original en dos puntos T₁, T₂ (puntos de tangencia).

Circunferencias tangentes Dos circunferencias son tangentes exteriormente si \(d(O_1, O_2) = r_1 + r_2\); son tangentes interiormente si \(d(O_1, O_2) = |r_1 - r_2|\). El punto T está siempre en la recta que une los centros.

Tangencia comunes a dos circunferencias Externas: 2 tangentes. Internas (cuando los centros están más cerca): otras 2. Usando la potencia y el centro radical exterior/interior se resuelven con regla y compás.

6. Enlaces y curvas técnicas

Enlace Unión suave entre dos elementos (dos rectas, recta-arco, arco-arco) mediante un arco que es tangente a ambos. La condición clave: el centro del arco de enlace está sobre las perpendiculares a los elementos por los puntos de tangencia.

Óvalos y ovoides Curvas cerradas formadas por arcos tangentes. El óvalo tiene dos ejes de simetría; el ovoide sólo uno. Construcción en PEvAU: óvalo isométrico (sustituye a la circunferencia en isometría) y óvalo común dado el eje mayor.

Cónicas Elipse: lugar de puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante 2a. Parábola: equidistantes de un foco y una directriz. Hipérbola: la diferencia de distancias a dos focos es constante 2a.

7. Errores frecuentes

1. Olvidar que en una tangencia el radio es perpendicular a la tangente en el punto de tangencia.

2. Confundir mediatriz (perpendicular a un segmento por su punto medio) con bisectriz (divide un ángulo en dos iguales).

3. En homotecias con k negativa, dibujar P′ del mismo lado que P (debe quedar al lado opuesto respecto al centro O).

4. Calcular potencia con \(d - r\) en vez de \(d^2 - r^2\).

5. Trazar mal el arco capaz: en α = 60° el centro O está sobre la mediatriz, no sobre AB.

Problemas resueltos paso a paso

PEvAU — Tangencia de circunferencias (suma de radios) 2019OrdinariaMedio

Dos circunferencias de radios \(r_1 = 30\) mm y \(r_2 = 50\) mm son tangentes exteriormente. ¿Cuál es la distancia entre sus centros (en mm)?

Para tangencia exterior, la distancia entre centros es la suma de los radios.

Ver solución completa

Tangencia exterior: \(d(O_1, O_2) = r_1 + r_2 = 30 + 50 = \mathbf{80}\) mm.
El punto de tangencia T está en la recta que une O₁ y O₂.

PEvAU — Potencia de un punto 2021ExtraordinariaAlta

Una circunferencia tiene centro \(O = (4, 3)\) y radio \(r = 5\). Calcula la potencia del punto \(P = (10, 11)\) respecto a esa circunferencia.

Calcula la distancia \(d(P, O)\) usando Pitágoras.

Aplica \(\text{Pot}(P) = d^2 - r^2\).

Ver solución completa

\(d = \sqrt{(10-4)^2 + (11-3)^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\).
\(\text{Pot}(P) = d^2 - r^2 = 100 - 25 = \mathbf{75}\). Positiva: P es exterior.

3. Tangencia exterior · distancia centros

Dos circunferencias tangentes externas: r₁=35 mm, r₂=22 mm. Distancia entre centros.

\(d=r_1+r_2\) en mm.

4. Tangencia interior · distancia centros

Circunferencias tangentes internas: r₁=60, r₂=22 mm. Distancia entre centros.

\(d=|r_1-r_2|\) en mm.

5. Potencia de un punto

Punto P a 90 mm del centro de una circunferencia de radio 35 mm. Potencia.

\(\text{Pot}=d^2-r^2\) en mm².

6. Eje radical · perpendicular

Dos circunferencias de centros O₁ y O₂. El eje radical es perpendicular a la recta O₁O₂. Si \(|O_1O_2|=80\) mm y la distancia de O₁ al eje radical vale 30 mm, distancia de O₂ al eje.

80 - 30.

7. Arco capaz de 90°

Para AB=60 mm, el arco capaz de 90° está sobre una circunferencia cuyo diámetro es AB. Radio.

Radio = AB/2.

8. Homotecia · razón k=−2

Punto P(20, 10), centro O(0,0), razón k=−2. Coordenada x de P′.

\(x'=kx\).

9. Inversión · radio

Inversión de centro O y potencia 144. Punto P a OP=12 mm. Distancia OP′.

\(OP'=k/OP\).

10. Semejanza · razón de áreas

Triángulos semejantes con razón lineal k=3. Razón de áreas.

k².

11. Polígono regular · ángulo interior

Hexágono regular. Ángulo interior en grados.

(n-2)·180/n = 4·180/6.

12. Tangencia común exterior · longitud

Dos circunferencias de radios 30 y 12 separadas 50 mm. Longitud del segmento tangente común exterior.

\(L=\sqrt{d^2-(r_1-r_2)^2}\).

13. Curva técnica · óvalo isométrico

Eje mayor de un óvalo isométrico inscrito en cuadrado de 100 mm. Aproximación: eje mayor = lado·1,225.

100·1,225.

14. Enlace de dos rectas · radio

Dos rectas perpendiculares y un arco de radio R=20 mm las enlaza. Distancia del vértice al punto de tangencia.

Distancia = R.

15. Mediatriz · punto equidistante

Si A(0,0) y B(10,0), distancia del punto (5, 12) al segmento AB y a sus extremos. Distancia a A en mm.

\(\sqrt{25+144}\).

Test de autoevaluación

1. La mediatriz de un segmento AB es:

a) La recta paralela a AB por su punto medio. b) La perpendicular a AB por su punto medio. c) La bisectriz del ángulo central. d) La recta que une A con el punto medio.

2. Dos circunferencias de radios 4 y 7 cm son tangentes internamente. La distancia entre sus centros es:

a) 11 cm b) 3 cm c) 14 cm d) 28 cm

3. El arco capaz para un ángulo de 90° sobre AB es:

a) Un cuarto de circunferencia. b) La semicircunferencia con AB como diámetro. c) Una elipse con focos en A y B. d) La mediatriz de AB.

4. En una homotecia de centro O y razón k = −2, el punto P se transforma en P′ que cumple:

a) Está del mismo lado de O y a la mitad de distancia. b) Está al lado opuesto de O y al doble de distancia. c) Coincide con el simétrico de P respecto a la mediatriz. d) Es el mismo P.

5. La potencia de un punto P respecto a una circunferencia de centro O y radio r vale:

a) \(d(P,O) + r\) b) \(d(P,O) - r\) c) \(d(P,O)^2 - r^2\) d) \(r^2 - d(P,O)^2\)

Simuladores

Canvas SVG · Mediatriz + tangencia entre circunferencias

Arrastra los centros O₁ y O₂. El sistema calcula la distancia, la suma y la diferencia de radios, e indica si la posición relativa es exterior, secante, interna o tangente. Se pinta también la mediatriz de O₁O₂.

r₁ r₂

…

Homotecia interactiva

Arrastra el centro O y el punto P. Cambia la razón k con el slider y observa la posición de P′.

k = 2

…

Banco de exámenes (Dibujo Técnico II)

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