1. Variable bidimensional y medias
Par (x,y): cada observación tiene dos componentes. Medias x̄ = Σxi/n, ȳ = Σyi/n.
Varianzas: sx² = Σ(xi−x̄)²/n, sy² = Σ(yi−ȳ)²/n. Las desviaciones típicas son sus raíces.
2. Covarianza
Covarianza: sxy = Σ(xi−x̄)(yi−ȳ)/n. Mide el sentido de la relación lineal: positivo si crecen juntos, negativo si una crece y la otra decrece.
3. Recta de regresión y predicción
Recta y/x (minimiza Σ(residuos)² verticales): y = a + b·x con b = sxy/sx² y a = ȳ − b·x̄.
Predicción: dentro del rango de los datos. Fuera, la predicción puede no ser fiable (extrapolación).
4. Coeficiente de correlación r y r²
r = sxy/(sx·sy), con −1 ≤ r ≤ 1. r ≈ 1: relación lineal directa fuerte; r ≈ −1: inversa fuerte; r ≈ 0: sin relación lineal.
Determinación r² ∈ [0, 1]: proporción de la variabilidad de y que explica la regresión lineal. r² = 0.85 ⇔ 85 % explicado.
Problemas resueltos paso a paso
1. Media de x
Datos x = {2, 4, 6, 8}. Calcula x̄.
1
Suma = 20; n = 4.
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x̄ = (2+4+6+8)/4 = 20/4 = 5.
2. Media de y
Datos y = {3, 7, 11, 15}. Calcula ȳ.
1
Suma = 36; n = 4.
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ȳ = (3+7+11+15)/4 = 36/4 = 9.
3. Varianza de x
Mismos datos x = {2, 4, 6, 8}. Calcula s_x² (sin corrección).
1
Desv² = 9 + 1 + 1 + 9 = 20; s² = 20/4.
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(2-5)²+(4-5)²+(6-5)²+(8-5)² = 9+1+1+9 = 20; /4 = 5.
4. Desviación típica de x
Misma serie. s_x (decimal con 3 cifras).
1
√5.
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s_x = √5 ≈ 2.236.
5. Covarianza
x = {2, 4, 6, 8}, y = {3, 7, 11, 15}. Calcula s_xy.
1
Σ(x−5)(y−9)/4 = (-3·-6 + -1·-2 + 1·2 + 3·6)/4 = 40/4.
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Σ = (-3)(-6)+(-1)(-2)+(1)(2)+(3)(6) = 18+2+2+18 = 40 → 40/4 = 10.
6. Pendiente b de la recta y/x
s_xy = 10, s_x² = 5. Calcula b.
1
b = s_xy/s_x² = 10/5.
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b = 10/5 = 2.
7. Ordenada en el origen a
x̄ = 5, ȳ = 9, b = 2. Calcula a.
1
a = ȳ − b·x̄ = 9 − 2·5.
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a = 9 − 2·5 = −1.
8. Predicción interpolación
Recta y = −1 + 2·x. Predicción para x = 7.
1
−1 + 2·7.
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y(7) = −1 + 14 = 13.
9. Predicción extrapolación
Misma recta y = −1 + 2·x. Predicción para x = 12.
1
−1 + 2·12 (aviso: fuera de rango).
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y(12) = −1 + 24 = 23. Atención: x = 12 está fuera del rango observado, la predicción puede no ser fiable.
10. Coeficiente de correlación r
s_xy = 10, s_x = √5 ≈ 2.236, s_y = √20 ≈ 4.472. Calcula r.
1
r = 10/(√5·√20) = 10/√100 = 10/10.
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r = 10/(√5·√20) = 10/√100 = 10/10 = 1. Relación lineal perfecta directa.
11. Coeficiente de determinación r²
Si r = 0.9, calcula r² y porcentaje explicado (%).
1
0.9² = 0.81.
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r² = 0.81 ⇒ 81 % de la variabilidad de y se explica por la regresión.
12. Correlación nula
Si s_xy = 0, ¿cuál es el valor de r?
1
r = 0.
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Si la covarianza es 0, r = 0 (no hay relación lineal).
13. Recta y/x a partir de (x̄, ȳ) y b
x̄ = 10, ȳ = 25, b = 2. Predicción para x = 12.
1
a = 25 − 2·10 = 5; y(12) = 5 + 2·12.
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a = 5; y = 5 + 2x → y(12) = 5 + 24 = 29.
14. Interpretación del signo de b
Si b > 0 en y = a + bx, la relación lineal es:
1
Directa: 1 (sí). Marca 1 si es directa, 0 si no.
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b > 0 ⇒ a más x más y ⇒ relación directa.
15. Cambio de unidades en la pendiente
Si en y = 2x + 1 dividimos x por 10, la nueva pendiente es:
1
y = 2·(10x') + 1 = 20x' + 1; pendiente respecto a x' = 20.
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Nuevo x' = x/10 ⇒ x = 10x'; y = 2·10x' + 1 = 20x' + 1. Pendiente respecto a x' = 20.
Test de autoevaluación
El coeficiente r está siempre en el intervalo:
Si r = 0, la relación lineal entre x e y es:
Si r² = 0.64, el porcentaje explicado es:
En la recta y/x, la pendiente es:
Una covarianza s_xy negativa indica una relación lineal:
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