1. Sucesos y probabilidad clásica
Regla de Laplace: P(A) = casos favorables / casos posibles, válida si todos los sucesos elementales son equiprobables.
Complementario: P(Ac) = 1 − P(A). Unión: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Si A∩B = ∅, son incompatibles.
2. Probabilidad condicional e independencia
Condicional: P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Independencia: P(A|B) = P(A) ⇔ P(A∩B) = P(A)·P(B).
Probabilidad total: si {B1, B2, …} es partición, P(A) = ΣP(A|Bi)·P(Bi).
3. Distribución binomial B(n,p)
Experimento de Bernoulli: dos resultados (éxito/fracaso) con probabilidades p y q = 1 − p. Si se repite n veces de forma independiente, X = número de éxitos sigue B(n,p).
Función de masa: P(X = k) = C(n,k)·pk·qn−k. Media μ = n·p. Varianza σ² = n·p·q.
4. Muestreo e intervalos de confianza (σ conocida)
Media muestral: si X̄ es la media de una m.a.s. de tamaño n de una población N(μ, σ), entonces X̄ ~ N(μ, σ/√n).
Intervalo de confianza para μ al nivel 1 − α (σ conocida): IC = X̄ ± zα/2·σ/√n. Valores típicos: z = 1.96 (95 %), z = 1.645 (90 %), z = 2.576 (99 %).
Problemas resueltos paso a paso
1. Probabilidad de Laplace
Probabilidad de obtener un 5 al lanzar un dado.
1
P = 1/6 ≈ 0.1667.
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Casos favorables = 1; posibles = 6; P = 1/6.
2. Probabilidad del complementario
Si P(A) = 0.4, calcula P(A^c).
1
1 − 0.4.
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P(A^c) = 1 − 0.4 = 0.6.
3. Unión de sucesos
P(A) = 0.5, P(B) = 0.4, P(A∩B) = 0.2. Calcula P(A∪B).
1
0.5 + 0.4 − 0.2.
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P(A∪B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7.
4. Probabilidad condicional
P(A∩B) = 0.2 y P(B) = 0.5. Calcula P(A|B).
1
0.2/0.5.
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P(A|B) = 0.2/0.5 = 0.4.
5. Sucesos independientes
Si A y B son independientes con P(A) = 0.3 y P(B) = 0.5, calcula P(A∩B).
1
0.3·0.5.
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Indep ⇒ P(A∩B) = 0.3·0.5 = 0.15.
6. Probabilidad total
Una fábrica tiene 2 líneas. La 1ª produce el 60 % con 1 % de defectos; la 2ª produce el 40 % con 2 %. Probabilidad de pieza defectuosa.
1
0.6·0.01 + 0.4·0.02.
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P(D) = 0.6·0.01 + 0.4·0.02 = 0.006 + 0.008 = 0.014.
7. Binomial: media
X ~ B(10, 0.3). Calcula la media μ.
1
μ = n·p = 10·0.3.
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μ = n·p = 10·0.3 = 3.
8. Binomial: desviación típica
X ~ B(10, 0.3). Calcula σ (decimal con 3 cifras).
1
σ = √(n·p·q) = √(10·0.3·0.7).
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σ = √(10·0.3·0.7) = √2.1 ≈ 1.449.
9. Binomial: P(X = k)
X ~ B(5, 0.5). Calcula P(X = 2).
1
C(5,2)·0.5²·0.5³ = 10·0.5⁵ = 10·0.03125.
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C(5,2) = 10; P = 10·0.5⁵ = 10·0.03125 = 0.3125.
10. Binomial: al menos 1 éxito
X ~ B(4, 0.25). Calcula P(X ≥ 1).
1
1 − P(X = 0) = 1 − 0.75⁴.
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P(X ≥ 1) = 1 − (0.75)⁴ ≈ 1 − 0.3164 = 0.6836.
11. Error estándar de la media
σ = 12, n = 36. Error estándar σ/√n.
1
12/6.
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EE = σ/√n = 12/√36 = 12/6 = 2.
12. Semiamplitud del IC (95 %)
Calcula la semiamplitud z·σ/√n con z = 1.96, σ = 10 y n = 25.
1
1.96·10/5.
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z·σ/√n = 1.96·10/5 = 1.96·2 = 3.92.
13. Intervalo de confianza: límite superior
X̄ = 50, σ = 10, n = 25, z = 1.96. Límite superior del IC (95 %).
1
50 + 1.96·10/5.
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X̄ + z·σ/√n = 50 + 3.92 = 53.92.
14. Tamaño muestral mínimo (semiamplitud fija)
Buscas semiamplitud E ≤ 1 al 95 % con σ = 5. Calcula n mínimo.
1
n ≥ (z·σ/E)² = (1.96·5/1)² = 96.04.
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n ≥ (1.96·5)² = (9.8)² = 96.04 → n mínimo entero = 97.
15. Probabilidad clásica con baraja
Probabilidad de extraer un rey al sacar 1 carta de una baraja española de 40 cartas (4 reyes).
1
4/40.
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P = 4/40 = 0.1.
Test de autoevaluación
Sea X ~ B(n,p). La media de X es:
Si A y B son independientes, P(A|B) =
Para un IC al 95 % en muestreo de la media, z =
Si P(A) = 0.8, P(A^c) =
El error estándar de la media es σ/√n. Si σ = 20 y n = 100, vale:
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