1. Función afín y lineal
Forma: f(x) = m·x + n. m es la pendiente (variación de y por cada unidad de x) y n la ordenada en el origen (valor para x = 0).
Pendiente entre (x1,y1) y (x2,y2): m = (y2−y1)/(x2−x1). Punto-pendiente: y − y1 = m·(x − x1).
2. Función cuadrática
Forma: f(x) = a·x² + b·x + c. La gráfica es una parábola que abre hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0.
Vértice: xv = −b/(2a); yv = f(xv). Útil para máximos/mínimos en problemas de optimización (ingresos, costes).
3. Función exponencial y logarítmica
Exponencial: f(x) = a·bx (con b > 0, b ≠ 1). Si b > 1 crece; si 0 < b < 1 decrece.
Logarítmica: f(x) = logb(x) es la inversa de la exponencial. Crecimiento lento, dominio (0, +∞). Modela saturación.
Modelo de crecimiento: Cn = C0·(1+i)n. Modelo de decaimiento: Cn = C0·e−k·t.
4. Ajuste a datos e interpolación
Interpolación lineal: dado un par (x1, y1) y (x2, y2), para un x entre ellos: y = y1 + (y2−y1)/(x2−x1)·(x − x1).
Ajuste a un modelo: si los datos se ven «en línea recta», recta de regresión; si se ven «curvados» creciendo, modelo exponencial.
Problemas resueltos paso a paso
1. Pendiente de una recta
Pendiente de la recta que pasa por (2, 5) y (6, 13).
1
m = (13−5)/(6−2).
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m = 8/4 = 2.
2. Ordenada en el origen
La recta y = 2x + n pasa por (2, 5). Valor de n.
1
Sustituye: 5 = 2·2 + n.
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n = 5 − 4 = 1.
3. Ecuación punto-pendiente
Recta de pendiente 3 que pasa por (1, 4). Valor de f(0).
1
y = 4 + 3·(x − 1); en x = 0: 4 − 3 = 1.
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y = 4 + 3(x − 1) = 3x + 1. f(0) = 1.
4. Función afín de coste
Una empresa tiene un coste fijo de 200 € y un coste unitario de 8 €. Coste total de fabricar 25 unidades.
1
C(x) = 200 + 8x; C(25) = 200 + 200.
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C(25) = 200 + 8·25 = 200 + 200 = 400 €.
5. Vértice de una parábola
Abscisa del vértice de f(x) = x² − 6x + 5.
1
x_v = −b/(2a) = 6/2.
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x_v = −(−6)/(2·1) = 3.
6. Mínimo de una parábola
Mínimo absoluto de f(x) = x² − 6x + 5.
1
f(3) = 9 − 18 + 5.
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f(3) = 9 − 18 + 5 = −4.
7. Beneficio máximo (cuadrática)
B(x) = −2x² + 40x − 100. Producción que maximiza el beneficio.
1
x_v = −b/(2a) = −40/(−4).
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x_v = −40/−4 = 10 unidades.
8. Crecimiento exponencial: valor en n años
Una población crece al 5 % anual. Si hoy es 1000 habitantes, ¿cuántos habrá dentro de 3 años (redondeo entero)?
1
1000·1.05³ = 1000·1.157625.
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1000·(1.05)³ ≈ 1157.625 → 1158.
9. Decaimiento exponencial
Una sustancia tiene un coeficiente k = 0.2 (anual). Cantidad inicial 100. ¿Cuánto queda al cabo de 5 años con C(t) = 100·e^(−0.2·t)?
1
100·e^(−1).
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C(5) = 100·e^(−1) ≈ 100·0.3679 = 36.79.
10. Logaritmo natural
Resuelve ln(x) = 3 (decimal con 4 cifras).
1
x = e³ ≈ 20.0855.
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x = e³ ≈ 20.0855.
11. Crecimiento logarítmico
f(x) = log₂(x). Valor de f(8).
1
2³ = 8 ⇒ log₂(8) = 3.
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log₂(8) = 3 porque 2³ = 8.
12. Interpolación lineal
Si f(2) = 4 y f(6) = 12, estimación de f(4) por interpolación lineal.
1
y = 4 + (12−4)/(6−2)·(4−2) = 4 + 4.
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Pendiente = (12−4)/(6−2) = 2; y = 4 + 2·(4−2) = 8.
13. Modelo lineal: extrapolación
Datos: (1, 200), (2, 250), (3, 300). Predicción lineal para x = 5.
1
La pendiente es 50; y(5) = 200 + 50·(5−1).
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Pendiente 50, recta y = 50x + 150; en x = 5: 400.
14. Comparativa lineal vs exponencial
Crecen igualmente lineal +20/año y exponencial +5 %. Población inicial 200. Diferencia (exponencial − lineal) al cabo de 10 años (redondeo entero).
1
Lineal: 200 + 200 = 400; Exp: 200·1.05¹⁰ ≈ 325.78; diferencia ≈ −74.
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Exp 200·1.05¹⁰ ≈ 325.78. Lineal 200 + 20·10 = 400. Dif ≈ −74. La lineal supera a la exponencial en este horizonte.
15. Punto de equilibrio (ingresos = costes)
Ingresos I(x) = 12x y costes C(x) = 4x + 800. Cantidad de equilibrio.
1
12x = 4x + 800 ⇒ 8x = 800.
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Punto de equilibrio: 8x = 800 ⇒ x = 100 unidades.
Test de autoevaluación
La pendiente de y = 3x + 5 es:
El vértice de f(x) = x² − 4x + 1 está en x =
Si f(x) = 2^x, entonces f(3) =
log₁₀(1000) =
Interpolación lineal entre (1,10) y (5,30): y(3) =
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