1. Porcentajes y variaciones porcentuales
Porcentaje: p % de C es C·p/100. El nuevo valor tras un aumento del p % es C·(1+p/100). Tras una rebaja del p %: C·(1−p/100).
Variaciones encadenadas: subir p % y luego q % equivale a multiplicar por (1+p/100)·(1+q/100). No es sumar p+q salvo si uno de ellos es 0.
Variación porcentual: si pasa de C0 a C1, V% = (C1−C0)/C0·100.
2. Capitalización simple y compuesta
Capitalización simple: Cn = C0·(1 + n·i) donde i es el tipo decimal e n los años. Los intereses no se reinvierten.
Capitalización compuesta: Cn = C0·(1 + i)n. Los intereses se reinvierten y generan a su vez intereses (interés compuesto).
3. Tipo nominal, efectivo y TAE
Tipo nominal j capitalizable m veces al año equivale a un tipo periódico i = j/m. La tasa efectiva anual (TAE) es ief = (1 + j/m)m − 1.
Comparativa: dos productos solo son comparables a través de su TAE (incluye periodicidad y comisiones legalmente recogidas).
4. Anualidades simples e IPC
Valor final de una renta constante de cuantía a, prepagable al final de cada año durante n años a tipo i: Vn = a·[(1+i)n − 1]/i.
IPC e inflación: si la inflación anual es π, el poder adquisitivo real tras n años es V/(1+π)n. La variación real de un salario que sube g % con inflación π % es ≈ g − π.
Problemas resueltos paso a paso
1. Aumento porcentual simple
Un libro de 40 € sube un 15 %. ¿Cuál es el nuevo precio?
1
Multiplica 40 por (1+15/100) = 1.15.
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40 · 1.15 = 46 €.
2. Rebaja porcentual
Un pantalón de 80 € tiene un descuento del 25 %. Precio final.
1
80·(1−0.25) = 80·0.75.
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80·0.75 = 60 €.
3. Variaciones encadenadas (no se suman)
Un producto sube un 20 % y luego baja un 20 %. Coeficiente final sobre el precio inicial.
1
Multiplica 1.20·0.80.
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1.20 · 0.80 = 0.96 (es decir, queda en el 96 % del precio original).
4. Variación porcentual
El precio pasa de 250 € a 280 €. Variación porcentual (%).
1
V_% = (280−250)/250 · 100.
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(280−250)/250·100 = 30/250·100 = 12 %.
5. Capitalización simple
Depositas 1000 € al 4 % anual simple durante 3 años. Capital final.
1
C_n = 1000·(1 + 3·0.04).
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1000·(1 + 0.12) = 1120 €.
6. Capitalización compuesta
Depositas 1000 € al 4 % anual compuesto durante 3 años. Capital final (redondea a 2 decimales).
1
C_n = 1000·1.04³ = 1000·1.124864.
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1000·(1.04)³ = 1124.864 ≈ 1124.86 €.
7. Diferencia simple vs compuesta
Diferencia entre los dos problemas anteriores (compuesto − simple).
1
1124.864 − 1120.
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Compuesto − simple = 4.864 €. El interés compuesto produce ligeramente más al reinvertirse.
8. Capitalización mensual (TAE)
Tipo nominal del 12 % anual capitalizable mensualmente. TAE en %.
1
TAE = ((1+0.12/12)¹² − 1)·100.
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(1.01)¹² − 1 = 0.12683 → TAE ≈ 12.68 %.
9. Periodificación trimestral
Tipo nominal del 6 % anual capitalizable trimestralmente. TAE (%).
1
TAE = ((1+0.06/4)⁴ − 1)·100.
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(1.015)⁴ − 1 = 0.06136 → TAE ≈ 6.14 %.
10. Valor final de una renta
Aportas 1000 € al final de cada año durante 5 años a un 5 % compuesto. Valor final (redondea a entero).
1
V = 1000·[(1.05)⁵ − 1]/0.05.
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((1.05)⁵ − 1)/0.05 ≈ 5.5256; V ≈ 5525.63 € ≈ 5526.
11. Cuota mensual aproximada (préstamo francés)
Préstamo de 12000 € a 3 años a tipo nominal del 6 % capitalizable mensualmente. Cuota mensual (redondea a céntimos).
1
i = 0.06/12 = 0.005; n = 36; cuota = 12000·i/(1 − (1+i)^(-n)).
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Fórmula de la anualidad: a = C·i/(1 − (1+i)^(−n)) = 12000·0.005/(1 − 1.005^(−36)) ≈ 365.06 €.
12. Tipo real con inflación
Tipo nominal 5 %, inflación 2 %. Tipo real aproximado (%).
1
Tipo real ≈ 5 − 2 (Fisher aproximado).
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Aproximadamente ireal ≈ inom − π = 5 % − 2 % = 3 %.
13. Pérdida real de poder adquisitivo
Un salario de 30 000 € no se actualiza durante 3 años con inflación del 3 % anual. Pérdida real (%).
1
Pérdida ≈ (1 − 1/1.03³)·100 = (1 − 0.9151)·100.
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Poder adquisitivo final = 1/1.03³ ≈ 0.9151 → pierde aprox. 8.49 %.
14. Doble en interés compuesto (regla de 72)
¿En cuántos años se duplica el capital al 6 % compuesto (regla de 72)?
1
n ≈ 72/6.
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Aproximación de la regla del 72: 72/6 = 12 años.
15. Anualidad equivalente
Cuota anual constante para amortizar 20 000 € en 10 años a un 4 % compuesto (anualidad simple). Redondea a 2 decimales.
1
a = 20000·0.04/(1 − 1.04^(-10)).
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a = C·i/(1−(1+i)^(−n)) = 20000·0.04/(1 − 1.04^(−10)) ≈ 2465.82 €.
Test de autoevaluación
Si subes un precio un 10 % y luego lo bajas un 10 %, queda en…
La TAE de un nominal del 8 % capitalizable mensualmente es aproximadamente…
La regla del 72 sirve para estimar…
Si la inflación anual es 3 % y mi salario sube un 5 %, mi poder adquisitivo…
La capitalización compuesta da, frente a la simple, en cada periodo:
Simuladores
Banco de exámenes (MACS I · 1º Bachillerato)
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Generador aleatorio
El generador construye problemas numéricos aleatorios por bloque temático. Cada plantilla incluye su solución paso a paso.