1. Funciones reales
Función: regla f que asigna a cada x del dominio Dom(f) un único valor f(x). El recorrido es Im(f) ⊂ ℝ.
Dominio típico: polinomios → ℝ; racionales → ℝ menos los ceros del denominador; raíz par → radicando ≥ 0; logaritmo → argumento > 0.
2. Límites
Definición intuitiva: limx→a f(x) = L si f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a. Indeterminaciones típicas: 0/0, ∞/∞, ∞−∞.
Límite de un polinomio en x = a: el propio valor del polinomio en a. Asíntota horizontal: y = L si limx→±∞ f(x) = L. Asíntota vertical: x = a si limx→a f(x) = ±∞.
3. Derivadas elementales
Derivada: f′(a) = limh→0 [f(a+h)−f(a)]/h. Mide la pendiente de la recta tangente en a.
Tabla básica: (k)′ = 0; (xn)′ = n·xn−1; (sen x)′ = cos x; (cos x)′ = −sen x; (ex)′ = ex; (ln x)′ = 1/x.
4. Reglas de derivación
Reglas: (f+g)′ = f′+g′; (k·f)′ = k·f′; (f·g)′ = f′g + fg′; (f/g)′ = (f′g − fg′)/g²; (f∘g)′ = f′(g)·g′ (regla de la cadena).
Recta tangente en x = a: y = f(a) + f′(a)·(x − a). Monotonía: f crece donde f′ > 0 y decrece donde f′ < 0.
Problemas resueltos paso a paso
1. Dominio de una racional
Dominio de f(x) = 1/(x − 3). ¿Qué valor de x debe excluirse?
1
Anula el denominador: x − 3 = 0 ⇒ x = 3.
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El denominador se anula en x = 3, luego Dom(f) = ℝ \ {3}.
2. Dominio de una raíz
f(x) = √(x − 4). Valor mínimo de x en el dominio.
1
x − 4 ≥ 0 ⇒ x ≥ 4.
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Radicando ≥ 0 ⇒ x ≥ 4. Mínimo del dominio: 4.
3. Límite de un polinomio
Calcula limx→2 (3x² − 5x + 1).
1
Sustituye x = 2: 3·4 − 10 + 1.
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3·(2²) − 5·2 + 1 = 12 − 10 + 1 = 3.
4. Indeterminación 0/0 (factorizable)
Calcula limx→2 (x²−4)/(x−2).
1
Factoriza: (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2.
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(x²−4)/(x−2) = (x−2)(x+2)/(x−2) = x+2 → 4 al sustituir x = 2.
5. Asíntota horizontal
Calcula limx→∞ (3x²+1)/(x²+5). Valor de la asíntota horizontal.
1
Divide por x²: cociente de coeficientes principales 3/1.
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Numerador y denominador tienen grado 2: límite = 3/1 = 3.
6. Derivada de un polinomio
Calcula f′(x) si f(x) = x³ + 2x. Valor de f′(1).
1
f′(x) = 3x² + 2.
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f′(x) = 3x² + 2; en x = 1: 3 + 2 = 5.
7. Derivada con regla del producto
Calcula la derivada de h(x) = x·sen x en x = 0.
1
h′(x) = sen x + x·cos x; en x = 0 vale 0 + 0 = 0.
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h′(x) = (1)·sen x + x·(cos x); h′(0) = 0 + 0 = 0.
8. Derivada con regla del cociente
Si g(x) = (2x+1)/(x−1), calcula g′(2).
1
g′(x) = [(2)(x−1) − (2x+1)(1)]/(x−1)² = −3/(x−1)²; en x=2 da −3.
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g′(x) = (2(x−1) − (2x+1))/(x−1)² = (-3)/(x−1)²; en x = 2: −3/1 = −3.
9. Regla de la cadena
Calcula la derivada de f(x) = (3x+1)4 en x = 0.
1
f′(x) = 4·(3x+1)³·3 = 12·(3x+1)³; en x=0: 12.
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Cadena: 4(3x+1)³·3 = 12(3x+1)³; en x = 0: 12·1 = 12.
10. Recta tangente: pendiente
Pendiente de la recta tangente a y = x² en x = 3.
1
f′(3) = 2·3 = 6.
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f′(x) = 2x ⇒ f′(3) = 6.
11. Recta tangente: ordenada en el origen
Recta tangente a y = x² en x = 3 → ecuación y = m·x + n. Calcula n.
1
y = 9 + 6(x−3) = 6x − 9. n = −9.
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f(3) = 9, m = 6 ⇒ y − 9 = 6(x − 3) ⇒ y = 6x − 9, n = −9.
12. Monotonía: punto crítico
Sea f(x) = x² − 4x + 1. Valor de x donde f′ = 0.
1
f′(x) = 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2.
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f′(x) = 2x − 4 = 0 ⇒ x = 2 (mínimo, porque f″ = 2 > 0).
13. Mínimo de una parábola
Mínimo absoluto de f(x) = x² − 4x + 1.
1
f(2) = 4 − 8 + 1.
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f(2) = 4 − 8 + 1 = −3.
14. Derivada de e^x
Calcula la derivada de e^x en x = 0.
1
(e^x)′ = e^x; en x = 0: e^0 = 1.
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(e^x)′ = e^x; en x = 0 vale 1.
15. Derivada de ln x
Calcula la derivada de ln x en x = 2 (decimal).
1
(ln x)′ = 1/x; en x = 2: 0.5.
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(ln x)′ = 1/x ⇒ en x = 2: 1/2 = 0.5.
Test de autoevaluación
Dominio de f(x) = ln(x):
La derivada de x³ es:
limx→∞ (5x+1)/x vale:
Si f′(a) > 0, entonces en x = a la función es:
La derivada de sen x en x = 0 es:
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