1. Razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo con ángulo α: sen α = opuesto/hipotenusa; cos α = contiguo/hipotenusa; tg α = sen α/cos α = opuesto/contiguo.
Ángulos notables (grados → sen, cos, tg):
- 0°: 0, 1, 0
- 30°: 1/2, √3/2, √3/3
- 45°: √2/2, √2/2, 1
- 60°: √3/2, 1/2, √3
- 90°: 1, 0, no def.
2. Identidades fundamentales
Pitagórica: sen²α + cos²α = 1; 1 + tg²α = sec²α; 1 + cotg²α = csc²α.
Conversión grados↔radianes: 180° = π rad. Radianes = grados · π/180.
3. Teoremas del seno y del coseno
Teorema del seno: a/sen A = b/sen B = c/sen C = 2R (R = radio circunferencia circunscrita).
Teorema del coseno: a² = b² + c² − 2bc·cos A (y simétricas). Generaliza el teorema de Pitágoras (si A = 90°, cos A = 0).
4. Vectores en el plano
Módulo: |v⃗| = √(x² + y²) si v⃗ = (x,y).
Producto escalar: u⃗·v⃗ = x1x2 + y1y2 = |u⃗||v⃗|·cos α. Dos vectores son perpendiculares si u⃗·v⃗ = 0.
Problemas resueltos paso a paso
1. Seno de 30°
Valor de sen 30° (en decimal).
1
Recuerda que sen 30° = 1/2.
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sen 30° = 1/2 = 0.5.
2. Coseno de 60°
Valor de cos 60°.
1
cos 60° = 1/2.
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cos 60° = 1/2 = 0.5.
3. Tangente de 45°
Valor de tg 45°.
1
Como sen 45° = cos 45°: tg 45° = 1.
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tg 45° = sen 45°/cos 45° = (√2/2)/(√2/2) = 1.
4. Razones en triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto al ángulo α mide 3 y la hipotenusa 5. Calcula sen α.
1
sen α = 3/5.
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sen α = opuesto/hipotenusa = 3/5 = 0.6.
5. Otro cateto por Pitágoras
Hipotenusa 5, un cateto 3. Otro cateto.
1
Aplica Pitágoras: c = √(5²−3²).
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c = √(25−9) = √16 = 4.
6. Identidad pitagórica
Si sen α = 0.6 (en el primer cuadrante), calcula cos α.
1
cos α = √(1−sen²α) = √(1−0.36).
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cos α = √(1 − 0.6²) = √0.64 = 0.8.
7. Grados a radianes
Pasa 90° a radianes (en múltiplos de π, da el coeficiente).
1
90° = 90·π/180 = π/2 ⇒ coeficiente 0.5.
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Radianes = 90·π/180 = π/2 ≈ 1.5708. Coeficiente de π = 0.5.
8. Radianes a grados
Pasa π/3 rad a grados.
1
π/3 · 180/π = 60.
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(π/3)·(180/π) = 60°.
9. Teorema del seno
En un triángulo: A = 30°, a = 4, B = 60°. Calcula b.
1
b = a · sen B / sen A = 4 · (√3/2) / (1/2).
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b = 4·sen 60°/sen 30° = 4·(√3/2)/(1/2) = 4√3 ≈ 6.928.
10. Teorema del coseno
En un triángulo con b = 5, c = 7 y A = 60°, calcula a² (resultado entero).
1
a² = 5² + 7² − 2·5·7·cos 60° = 25+49−35.
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a² = 25 + 49 − 2·5·7·(1/2) = 74 − 35 = 39.
11. Módulo de un vector
Calcula |v⃗| si v⃗ = (3, 4).
1
|v⃗| = √(3²+4²).
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|v⃗| = √(9+16) = √25 = 5.
12. Producto escalar
Calcula u⃗·v⃗ con u⃗ = (2, 3) y v⃗ = (4, −1).
1
u⃗·v⃗ = 2·4 + 3·(−1).
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u⃗·v⃗ = 8 − 3 = 5.
13. Vectores perpendiculares
Si u⃗ = (2, k) y v⃗ = (3, −6) son perpendiculares, calcula k.
1
u⃗·v⃗ = 0 ⇒ 6 − 6k = 0 ⇒ k = 1.
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u⃗·v⃗ = 6 − 6k = 0 ⇒ k = 1.
14. Ángulo entre vectores
Calcula cos α entre u⃗ = (1, 0) y v⃗ = (1, 1) (decimal).
1
cos α = u⃗·v⃗ / (|u⃗|·|v⃗|) = 1/√2.
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cos α = (1·1+0·1)/(1·√2) = 1/√2 ≈ 0.7071.
15. Área triángulo con dos lados y ángulo
Área del triángulo con a = 6, b = 8, C = 30°.
1
Área = (1/2)·a·b·sen C = (1/2)·6·8·0.5.
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S = (1/2)·6·8·sen 30° = (1/2)·48·0.5 = 12.
Test de autoevaluación
Indica el valor de sen 90°.
¿Cuántos radianes son 180°?
Dos vectores son perpendiculares si su producto escalar es:
Teorema del coseno: a² = b² + c² − 2bc·cos A. ¿Qué teorema clásico es un caso particular?
El módulo de v⃗ = (5, 12) vale:
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