1. Números reales y ordenación
Conjuntos numéricos: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Los racionales (ℚ) son los que se pueden escribir como cociente de enteros (con decimales finitos o periódicos); los irracionales son los demás (√2, π, e, …).
Intervalos
- Abierto (a,b): a < x < b.
- Cerrado [a,b]: a ≤ x ≤ b.
- Semiabierto [a,b) o (a,b].
- No acotado: (a,+∞), [a,+∞), (−∞,b), …
Valor absoluto: |x| = x si x ≥ 0; −x si x < 0. Propiedades: |x·y| = |x|·|y|, |x+y| ≤ |x|+|y| (desigualdad triangular).
2. Potencias y radicales
Propiedades de potencias: am·an = am+n; am/an = am−n; (am)n = am·n; (a·b)n = an·bn.
Radicales: n√(a) = a1/n; n√(am) = am/n. Para sumar radicales han de ser semejantes (mismo índice y mismo radicando). Racionalizar: multiplicar numerador y denominador por el conjugado.
3. Logaritmos
Definición: logb(x) = y ↔ by = x. Base 10 (log) y base e (ln) son los más usados.
Propiedades: log(a·b) = log(a) + log(b); log(a/b) = log(a) − log(b); log(an) = n·log(a); cambio de base: logb(x) = ln(x)/ln(b).
4. Notación científica y errores
Notación científica: todo número real positivo se escribe como a·10n con 1 ≤ a < 10.
Errores: error absoluto Ea = |valor exacto − aprox|; error relativo Er = Ea/|valor exacto| (suele darse en %). Las cifras significativas indican la precisión.
Problemas resueltos paso a paso
1. Suma de potencias de la misma base
Calcula 25 · 23 escribiendo el resultado como potencia y como número entero.
1
Exponente de la potencia resultante (5+3).
2
Valor numérico de 28.
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Por la propiedad am·an = am+n: 25+3 = 28 = 256.
2. Cociente de potencias
Simplifica 37 / 34 y da el valor numérico.
1
Exponente resultante (7−4).
2
Valor numérico de 33.
Ver solución completa
37−4 = 33 = 27.
3. Potencia de potencia
Calcula (52)3.
1
Exponente final (2·3).
2
Valor de 56.
Ver solución completa
(52)3 = 56 = 15625.
4. Radical como potencia
Expresa 3√(25) como potencia de exponente fraccionario y aproxima al entero más cercano.
1
Exponente fraccionario (5/3) redondeado a 2 decimales.
2
Aproximación entera de 25/3.
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3√(25) = 25/3 ≈ 21.667 ≈ 3.17 → 3.
5. Suma de radicales semejantes
Calcula 3√5 + 7√5 − 2√5 (coeficiente del resultado).
1
Suma de coeficientes (3+7−2).
Ver solución completa
Como todos son √5, se suman coeficientes: (3+7−2)√5 = 8√5. Coeficiente = 8.
6. Racionalización simple
Racionaliza 6/√3 (resultado en forma a·√3).
1
Coeficiente racional del resultado (6/3).
Ver solución completa
6/√3 · (√3/√3) = 6√3/3 = 2√3. Coeficiente = 2.
7. Logaritmo decimal
Calcula log10(1000).
1
Exponente al que hay que elevar 10 para obtener 1000.
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103 = 1000 ⇒ log10(1000) = 3.
8. Logaritmo natural
Calcula ln(e4).
1
Por la propiedad ln(en) = n.
Ver solución completa
ln(e4) = 4 · ln(e) = 4.
9. Logaritmo de un producto
Si log(2) ≈ 0.301 y log(5) ≈ 0.699, calcula log(10) usando la propiedad del producto.
1
Suma 0.301 + 0.699.
Ver solución completa
log(10) = log(2·5) = log(2) + log(5) ≈ 0.301 + 0.699 = 1.000.
10. Cambio de base
Expresa log2(8) como cociente de logaritmos en base 10 y da su valor.
1
Valor de log2(8).
Ver solución completa
log2(8) = log(8)/log(2) ≈ 0.903/0.301 = 3.
11. Notación científica · producto
Multiplica 3·105 por 2·103 y da el resultado en notación científica (coeficiente y exponente).
1
Coeficiente del producto (3·2).
2
Exponente del producto (5+3).
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(3·2)·105+3 = 6·108.
12. Notación científica · cociente
Divide 8·106 entre 2·102.
1
Coeficiente (8/2).
2
Exponente (6−2).
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(8/2)·106−2 = 4·104.
13. Error absoluto y relativo
Una medida real es 250 y la aproximación es 245. Calcula el error absoluto y el relativo (%).
1
Error absoluto |250−245|.
2
Error relativo (%) = 5/250·100.
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Ea = 5; Er = 5/250 = 0.02 = 2 %.
14. Intervalo y valor absoluto
Resuelve |x − 4| < 3 y da los extremos del intervalo solución.
1
Extremo inferior (4−3).
2
Extremo superior (4+3).
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|x−4| < 3 ⇔ −3 < x−4 < 3 ⇔ 1 < x < 7. Solución: (1, 7).
15. Potencia de exponente negativo
Calcula 2−3 en forma decimal.
1
Valor de 1/23.
Ver solución completa
2−3 = 1/23 = 1/8 = 0.125.
Test de autoevaluación
¿Cuál es el valor de log10(100)?
Indica el conjunto al que pertenece el número √2.
¿Cuál es la notación científica de 0.0042?
Si log(2) ≈ 0.301, ¿cuánto vale log(8)?
La solución de |x| ≤ 5 es:
Simuladores
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