1. Planos de proyección y línea de tierra
El sistema diédrico: emplea dos planos de proyección ortogonales:
- Plano Vertical (PV): vertical, contiene los ejes X y Z.
- Plano Horizontal (PH): horizontal, contiene los ejes X e Y.
- Se cortan en la línea de tierra (LT), eje X.
Los 4 diedros:
- I diedro: alejamiento > 0, cota > 0 (delante del PV y encima del PH). El que se usa en Europa (norma DIN).
- II diedro: alejamiento < 0, cota > 0.
- III diedro: alejamiento < 0, cota < 0 (norma ANSI / americana).
- IV diedro: alejamiento > 0, cota < 0.
Abatimiento: para representar en un único plano (papel), el PH gira 90° hasta superponerse al PV. La proyección horizontal P′ aparece bajo la LT y la vertical P″ encima.
2. Proyecciones del punto
Coordenadas de un punto A en el sistema diédrico:
- x: distancia a lo largo de la LT (no afecta a la posición respecto a los planos).
- Alejamiento (y): distancia al PV (positivo: delante).
- Cota (z): distancia al PH (positivo: encima).
Proyección horizontal A′: pie de la perpendicular desde A al PH. Tiene cota 0. En el papel, se sitúa por debajo de la LT a una distancia igual al alejamiento de A.
Proyección vertical A″: pie de la perpendicular desde A al PV. Tiene alejamiento 0. En el papel, se sitúa encima de la LT a una distancia igual a la cota de A.
Caso particular: punto sobre el PH ⇒ cota = 0; punto sobre el PV ⇒ alejamiento = 0; punto sobre la LT ⇒ ambos 0.
3. Alfabeto de la recta
Posiciones notables de la recta:
- Horizontal: paralela al PH. Cota constante; proyección horizontal en verdadera magnitud.
- Frontal: paralela al PV. Alejamiento constante; proyección vertical en V.M.
- Vertical: perpendicular al PH. Proyección vertical es un segmento vertical en V.M.; proyección horizontal es un punto.
- De punta: perpendicular al PV. Proyección horizontal en V.M.; proyección vertical es un punto.
- De perfil: paralela al plano de perfil (perpendicular a LT). Sus proyecciones se solapan en una sola vertical en el papel.
- Cualquiera: tiene trazas con los dos planos (intersección con PV y PH).
Trazas de una recta r:
- Traza horizontal H: intersección con el PH (cota = 0).
- Traza vertical V: intersección con el PV (alejamiento = 0).
4. Posiciones relativas y distancias
Posición relativa de dos rectas en el diédrico:
- Paralelas: sus proyecciones homónimas son paralelas.
- Secantes (se cortan): las proyecciones se cortan en puntos cuya línea de unión es perpendicular a la LT.
- Cruzadas: las proyecciones se cortan pero los puntos de corte no están alineados perpendicularmente a la LT.
Distancia entre dos puntos (mismo x): si A(x, y₁, z₁) y B(x, y₂, z₂),
- diferencia de cotas Δz = |z₂ − z₁|.
- diferencia de alejamientos Δy = |y₂ − y₁|.
- distancia en el espacio (3D): d = √((x₂−x₁)² + (y₂−y₁)² + (z₂−z₁)²).
Verdadera magnitud (V.M.): si una recta es paralela a un plano de proyección, su proyección sobre dicho plano coincide con la V.M. Si no lo es, hay que abatir.
Problemas resueltos paso a paso
1. Cota de un punto
Punto A con coordenadas (3, 5, 7). Indica la cota.
1
La cota es z = 7.
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Cota = z = 7 (distancia al PH, positiva ⇒ encima).
2. Alejamiento de un punto
Punto A(3, 5, 7). Indica el alejamiento.
1
Alejamiento = y = 5.
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Alejamiento = y = 5 (distancia al PV, positivo ⇒ delante).
3. Cota de un punto en el PH
Si un punto está contenido en el plano horizontal de proyección, su cota es:
1
Cota = 0 (pertenece al PH).
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Estar en el PH ⇒ z = 0. La proyección horizontal coincide con el propio punto.
4. Alejamiento de un punto en el PV
Si un punto está contenido en el plano vertical, su alejamiento es:
1
Alejamiento = 0 (pertenece al PV).
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Estar en el PV ⇒ y = 0. La proyección vertical coincide con el propio punto.
5. Distancia vertical en el papel · cota
El punto A(2, 3, 8) se representa en el papel. ¿A qué distancia (en mm si la unidad es 1 mm) está la proyección vertical A″ por encima de la LT?
1
La distancia es la cota: 8.
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A″ está sobre el PV a distancia z=8 de la LT (encima).
6. Distancia vertical en el papel · alejamiento
Mismo A(2, 3, 8). ¿A qué distancia está la proyección horizontal A′ por debajo de la LT?
1
Distancia = alejamiento = 3.
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A′ está bajo la LT a distancia y=3 (alejamiento).
7. Diferencia de cotas (Δz)
Puntos A(0, 2, 8) y B(0, 5, 3). Diferencia de cotas |Δz|.
1
Δz = |8 − 3|.
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|Δz| = |8 − 3| = 5.
8. Diferencia de alejamientos (Δy)
A(0, 2, 8) y B(0, 5, 3). Diferencia de alejamientos |Δy|.
1
Δy = |2 − 5|.
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|Δy| = |2 − 5| = 3.
9. Distancia 3D entre dos puntos
A(0, 0, 0) y B(3, 4, 0). Distancia (módulo, mm).
1
d = √(3² + 4² + 0²) = √(9 + 16).
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Distancia 3D = √(9+16+0) = √25 = 5 mm (triángulo 3-4-5).
10. Distancia 3D · uso de Pitágoras 3D
A(0, 0, 0) y B(2, 3, 6). Distancia entera (mm).
1
d² = 4 + 9 + 36 = 49 ⇒ d = 7.
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d = √(4+9+36) = √49 = 7 mm.
11. Cota negativa · diedro
Si un punto tiene cota = −4 y alejamiento = 5, ¿en qué diedro está?
1
Cota<0 y alejamiento>0 ⇒ IV diedro.
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Cota negativa (debajo del PH) y alejamiento positivo (delante del PV) ⇒ IV diedro.
12. Recta horizontal · cota constante
Una recta horizontal pasa por A(0, 2, 5). Indica la cota de cualquier otro punto B sobre la recta.
1
Cota constante = 5.
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Recta horizontal ⇒ paralela al PH ⇒ cota constante. Por tanto cota_B = cota_A = 5.
13. Suma de cota + alejamiento
Punto A(0, 4, 7). Suma de su cota y su alejamiento.
1
Suma = z + y = 7 + 4.
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Suma = z + y = 7 + 4 = 11. (Determina la distancia total proyección a proyección en el papel.)
14. Distancia entre proyecciones A′ y A″ en el papel
Punto A(0, 3, 5). Distancia (mm) entre A′ y A″ en el papel (suma cota + alejamiento).
1
d_papel = cota + alejamiento = 5 + 3.
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En el papel A′ está a 3 debajo de LT y A″ a 5 encima ⇒ están separados 5+3 = 8 mm.
15. Traza horizontal de una recta
Una recta corta al PH en un punto cuya cota es:
1
La traza horizontal está sobre el PH ⇒ cota = 0.
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Definición de traza horizontal: corte de la recta con el PH ⇒ z = 0.
Test de autoevaluación
La cota de un punto representa:
La línea de tierra (LT) es la intersección de:
Un punto del I diedro tiene:
Una recta horizontal del diédrico es paralela al:
Un punto contenido en la línea de tierra tiene:
Simuladores
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