1. Polígonos regulares
Polígono regular de n lados:
- Ángulo central = 360° / n.
- Ángulo interior = (n − 2)·180 / n.
- Suma de ángulos interiores = (n − 2)·180°.
- Ángulo exterior = 360° / n (suplementario del interior, suman 180°).
Apotema (segmento del centro al punto medio de un lado): a = L / (2·tan(180°/n)).
- Triángulo equilátero (n = 3): a = L·√3/6.
- Cuadrado (n = 4): a = L/2.
- Hexágono (n = 6): a = L·√3/2 ≈ 0.866·L. (En el hexágono regular, el lado coincide con el radio.)
Área de polígono regular: A = (perímetro · apotema) / 2 = (n·L·a) / 2.
Construcción de polígonos: la construcción general inscribe el polígono en una circunferencia auxiliar y se reparte el ángulo central 360°/n.
2. Escalas normalizadas
Escala E = dimensión en el dibujo / dimensión real (siempre la misma unidad).
- Natural: 1:1 (tamaño real).
- Reducción: 1:k (k > 1). Ejemplos normalizados: 1:2, 1:5, 1:10, 1:20, 1:50, 1:100, 1:200, 1:500, 1:1000.
- Ampliación: k:1 (k > 1). Ejemplos: 2:1, 5:1, 10:1, 20:1, 50:1, 100:1.
Cálculos:
- De real a dibujo: dibujo = real / k (en reducción 1:k); dibujo = real · k (en ampliación k:1).
- De dibujo a real: real = dibujo · k (reducción 1:k); real = dibujo / k (ampliación k:1).
Escala gráfica: regla impresa en el plano con segmentos rotulados con la dimensión real, útil cuando el plano se amplía o reduce al imprimir.
3. Transformaciones del plano
Traslación de vector v = (a, b): P(x, y) → P′(x+a, y+b). Conserva distancias y orientación.
Giro de centro O y ángulo θ: P → P′ tal que |OP| = |OP′| y ∠POP′ = θ. Caso particular giro 180° (= simetría central).
Simetría axial respecto a una recta r: P y P′ equidistan de r y la recta PP′ es perpendicular a r. Cambia la orientación.
Simetría central respecto a un punto O: P y P′ están alineados con O y |OP| = |OP′|. Equivale a un giro de 180°. P(x, y) → P′(−x, −y) si O = (0, 0).
Conserva o invierte: traslación, giro y simetría central conservan orientación; la simetría axial la invierte.
4. Homotecia y semejanza
Homotecia de centro O y razón k (k ∈ ℝ, k ≠ 0): P → P′ tal que OP′ = k·OP (alineados con O). En coordenadas con O = (0, 0): P(x, y) → P′(k·x, k·y).
- k > 0: homotecia directa.
- k < 0: homotecia inversa (P′ en sentido opuesto a P respecto de O).
- |k| > 1: ampliación; |k| < 1: reducción.
Semejanza: composición de homotecia (escala) + isometría (giro, simetría, traslación). Dos figuras semejantes tienen lados proporcionales con razón k y ángulos iguales.
Relaciones de semejanza:
- Razón de lados (lineal): k.
- Razón de perímetros: k (es lineal).
- Razón de áreas: k².
- Razón de volúmenes: k³.
Centro de homotecia común: dos circunferencias siempre tienen dos centros de homotecia (uno directo, k = r₂/r₁; uno inverso, k = −r₂/r₁), salvo si son iguales (entonces sólo el inverso).
Problemas resueltos paso a paso
1. Ángulo central de un polígono
Ángulo central (°) de un polígono regular de 12 lados.
1
α = 360/n = 360/12.
Ver solución completa
α_central = 360°/n = 360°/12 = 30°.
2. Ángulo interior de un polígono
Ángulo interior (°) de un pentágono regular (n = 5).
1
α = (n−2)·180/n = 3·180/5.
Ver solución completa
α_interior = (n−2)·180/n = 540/5 = 108°.
3. Ángulo exterior de un polígono
Ángulo exterior (°) de un octógono regular (n = 8).
1
α_ext = 360/n = 360/8.
Ver solución completa
α_exterior = 360°/n = 45°.
4. Apotema del cuadrado
Apotema (mm) de un cuadrado de lado L = 60 mm.
1
a = L/2 = 60/2.
Ver solución completa
En el cuadrado, el apotema vale L/2 = 30 mm.
5. Área de un polígono regular
Área (mm²) de un hexágono regular de lado 10 mm y apotema 8.66 mm.
1
A = (P · a)/2 = (60 · 8.66)/2.
Ver solución completa
P = 6·10 = 60 mm; A = (60·8.66)/2 = 259.8 mm².
6. Escala 1:100 · dimensión dibujada
Una fachada mide 8 m de alto. A escala 1:100, ¿cuánto mide en el plano (cm)?
1
dibujo = real/k = 800 cm / 100.
Ver solución completa
Real 8 m = 800 cm; dibujo = 800/100 = 8 cm.
7. Escala 2:1 · dimensión dibujada (ampliación)
Una pieza mide 12 mm. A escala 2:1, ¿cuánto mide en el plano (mm)?
1
dibujo = real · 2 = 12·2.
Ver solución completa
Ampliación 2:1 ⇒ dibujo = real·2 = 24 mm.
8. Escala 1:50 · dimensión real desde plano
En un plano a escala 1:50, una pared mide 6 cm. Longitud real (cm).
1
real = dibujo · 50 = 6·50.
Ver solución completa
real = 6·50 = 300 cm = 3 m.
9. Traslación · coordenadas de la imagen
P(2, 5) trasladado por v = (3, −1). Coordenada y de P′.
1
y′ = y + b = 5 + (−1).
Ver solución completa
P′ = (2+3, 5−1) = (5, 4). Coordenada y = 4.
10. Simetría central respecto al origen
Simétrico de P(4, −3) respecto al origen O. Coordenada x de P′.
1
x′ = −x = −4.
Ver solución completa
Simetría central respecto a O = (0,0): P′ = (−x, −y) = (−4, 3).
11. Homotecia razón k = 2 desde O
Por homotecia de centro O(0,0) y razón k = 2, P(3, 7) → P′. Coordenada y de P′.
1
y′ = k·y = 2·7.
Ver solución completa
P′ = (k·x, k·y) = (6, 14). Coordenada y = 14.
12. Homotecia razón negativa
Por homotecia de centro O(0,0) y razón k = −3, P(5, 2) → P′. Coordenada x de P′.
1
x′ = k·x = −3·5.
Ver solución completa
Razón negativa invierte el sentido: P′ = (−15, −6). Coordenada x = −15.
13. Razón de perímetros
Dos figuras semejantes con razón lineal k = 4. Razón de sus perímetros.
1
Razón perímetros = k = 4.
Ver solución completa
El perímetro es lineal: razón = k = 4 (no se eleva al cuadrado).
14. Razón de volúmenes en semejanza
Dos cubos semejantes con razón lineal k = 2. Razón de volúmenes.
1
k³ = 8.
Ver solución completa
Razón de volúmenes = k³ = 2³ = 8.
15. Giro de 90° desde el origen (P en eje X)
Giro de 90° antihorario alrededor de O para P(5, 0). Coordenada y de P′.
1
P en eje x positivo → P′ en eje y positivo: y′ = 5.
Ver solución completa
Giro de 90° antihorario: (x, y) → (−y, x). P(5,0) → P′(0, 5). y′ = 5.
Test de autoevaluación
Para un polígono regular de n lados, el ángulo central vale:
La escala 1:50 significa que:
Una traslación de vector v = (a, b) sobre P(x, y) da el punto:
La simetría central respecto al origen lleva P(x, y) a:
Si dos figuras semejantes tienen razón lineal k = 3, sus áreas están en razón:
Simuladores
Banco de exámenes (Dibujo Técnico · 1º Bachillerato)
Cargando…
Generador aleatorio
El generador construye problemas numéricos aleatorios por bloque temático. Cada plantilla incluye su solución paso a paso.