1. Lugares geométricos básicos
Lugar geométrico: conjunto de puntos del plano que cumplen una propiedad común.
- Mediatriz de un segmento AB: perpendicular a AB por su punto medio. Todos sus puntos equidistan de A y B. Distancia al punto medio = 0; corta a AB a la mitad.
- Bisectriz de un ángulo: recta que lo divide en dos ángulos iguales. Todos sus puntos equidistan de los lados del ángulo.
- Circunferencia centro O, radio r: lugar de los puntos a distancia r de O. d(P,O) = r.
- Paralela a una recta a distancia d: dos rectas paralelas a la dada (una a cada lado).
Trazado en geometría técnica: con regla y compás. La mediatriz de AB se traza con arcos de radio > AB/2 desde A y B; la bisectriz se traza apoyando el compás en el vértice y luego en los puntos de intersección con los lados.
Centros notables del triángulo: circuncentro (mediatrices), incentro (bisectrices), baricentro (medianas, divide cada mediana en razón 2:1), ortocentro (alturas).
2. Tangencias y potencia
Tangencias entre circunferencias:
- Tangentes exteriores: distancia entre centros d = r₁ + r₂.
- Tangentes interiores: d = |r₁ − r₂|.
- Secantes: |r₁ − r₂| < d < r₁ + r₂.
- Exteriores sin contacto: d > r₁ + r₂.
- Interiores sin contacto: d < |r₁ − r₂|.
Tangente a una circunferencia desde un punto exterior: la tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia. Si OP = d y radio = r, la longitud del segmento tangente es L = √(d² − r²).
Potencia de un punto P respecto a una circunferencia (centro O, radio r): Pot(P) = d² − r², donde d = OP.
- Pot > 0: P exterior.
- Pot = 0: P sobre la circunferencia.
- Pot < 0: P interior.
Eje radical de dos circunferencias: lugar de los puntos con igual potencia respecto a ambas. Es una recta perpendicular a la línea que une los centros.
3. Ángulos en la circunferencia y arco capaz
Ángulos en la circunferencia:
- Central: con vértice en el centro. Mide igual que el arco que abarca.
- Inscrito: con vértice en la circunferencia. Mide la mitad del arco que abarca (mitad del central correspondiente).
- Semi-inscrito: lado tangente + lado cuerda. Mide la mitad del arco.
Arco capaz de un ángulo α sobre AB: lugar de los puntos del plano desde los que el segmento AB se ve bajo un ángulo α constante.
- Si α = 90°: el arco capaz es la semicircunferencia de diámetro AB (teorema de Tales del cateto). Radio = AB/2.
- Si α < 90°: arco mayor que la semicircunferencia.
- Si α > 90°: arco menor que la semicircunferencia.
Teorema del ángulo inscrito: si αinscrito = θ, el central correspondiente es 2θ. El triángulo inscrito en una semicircunferencia es siempre rectángulo (en el vértice opuesto al diámetro).
4. Proporcionalidad: Tales y semejanza
Teorema de Tales: si dos rectas paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos que determinan son proporcionales. Si las paralelas cortan a la primera secante en A, B y a la segunda en A′, B′ desde un mismo origen O:
- OA / OB = OA′ / OB′.
- AB / A′B′ = OA / OA′ (razón de semejanza k).
Semejanza de figuras: dos figuras son semejantes si tienen igual forma y sus lados son proporcionales con razón k.
- Lados: razón lineal k.
- Áreas: razón k².
- Volúmenes: razón k³.
Teorema de la altura (triángulo rectángulo): h² = m · n (m, n proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa). Teorema del cateto: cateto² = hipotenusa · proyección.
Triángulos rectángulos notables: 3-4-5 (Pitágoras), 5-12-13, 8-15-17. Útiles para construcciones aproximadas con regla y escuadra.
Problemas resueltos paso a paso
1. Tangencia exterior · distancia entre centros
Dos circunferencias son tangentes exteriores con radios r₁ = 35 mm y r₂ = 22 mm. Calcula la distancia entre sus centros (mm).
1
d = r₁ + r₂ = 35 + 22.
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Tangencia exterior ⇒ d = r₁ + r₂ = 35 + 22 = 57 mm.
2. Tangencia interior · distancia entre centros
Dos circunferencias son tangentes interiores con r₁ = 60 mm y r₂ = 22 mm. Distancia entre centros (mm).
1
d = |r₁ − r₂| = |60 − 22|.
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Tangencia interior ⇒ d = |r₁ − r₂| = 38 mm.
3. Potencia de un punto
Punto P a una distancia OP = 90 mm del centro de una circunferencia de radio r = 35 mm. Calcula la potencia (mm²).
1
Pot = d² − r² = 90² − 35² = 8100 − 1225.
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Pot(P) = d² − r² = 8100 − 1225 = 6875 mm² (positiva ⇒ exterior).
4. Longitud del segmento tangente
Desde un punto exterior P con OP = 50 mm se traza la tangente a una circunferencia de radio 30 mm. Longitud (mm) del segmento tangente.
1
L = √(d² − r²) = √(2500 − 900).
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L = √(d² − r²) = √1600 = 40 mm (triángulo rectángulo 30-40-50).
5. Arco capaz de 90°
Para AB = 60 mm, el arco capaz del ángulo 90° está sobre una circunferencia. Indica su radio (mm).
1
El arco capaz de 90° es la semicircunferencia de diámetro AB ⇒ r = AB/2 = 30.
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Tales del cateto: el arco capaz de 90° sobre AB es la semicircunferencia de diámetro AB ⇒ radio = 30 mm.
6. Ángulo inscrito y central
Un ángulo inscrito en la circunferencia mide 35°. Indica el ángulo central correspondiente (°).
1
α_central = 2 · α_inscrito = 2 · 35.
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El central correspondiente al inscrito es el doble: 2·35° = 70°.
7. Suma de ángulos interiores · polígono
Suma de los ángulos interiores de un hexágono (°).
1
Σ = (n − 2)·180 = 4·180.
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Σ_int = (n−2)·180 = (6−2)·180 = 4·180 = 720°.
8. Tales · proporcionalidad
Tres paralelas cortan a una secante en segmentos de 6 mm y 8 mm. Si en la otra secante el primer segmento mide 9 mm, ¿cuánto vale el segundo (mm)?
1
9/6 = x/8 ⇒ x = 9·8/6.
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Por Tales: la razón se mantiene, 9/6 = x/8 ⇒ x = 72/6 = 12 mm.
9. Razón de áreas de figuras semejantes
Dos triángulos semejantes con razón lineal k = 3. Razón de áreas.
1
k².
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Razón lineal k ⇒ razón de áreas k² = 9.
10. Mediatriz · punto equidistante
El punto P está en la mediatriz de AB con A(0,0) y B(10,0). Si las coordenadas de P son (5, 12), distancia (mm) de P a A (= a B).
1
d = √(5² + 12²) = √(25 + 144).
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d(P, A) = √(25 + 144) = √169 = 13 mm. Triángulo 5-12-13.
11. Tangente común exterior · longitud
Dos circunferencias de radios 30 mm y 12 mm con centros separados 80 mm. Longitud (mm) del segmento tangente común exterior. Da el resultado redondeado a 2 decimales.
1
L = √(d² − (r₁ − r₂)²) = √(6400 − 324).
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L = √(80² − (30−12)²) = √(6400 − 324) = √6076 ≈ 77.95 mm.
12. Apotema de hexágono regular
Apotema (mm) de un hexágono regular de lado L = 40 mm. Da el resultado redondeado a 2 decimales (√3/2 ≈ 0.8660).
1
a = L · (√3/2) = 40 · 0.8660.
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En el hexágono regular el lado coincide con el radio circunscrito y el apotema vale L·√3/2 ≈ 34.64 mm.
13. Escala 1:50 · distancia real
En un plano a escala 1:50, una distancia mide 4 cm. ¿Cuál es la distancia real en m?
1
Real = dibujo · 50 = 4 cm · 50 = 200 cm = 2 m.
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1:50 ⇒ 1 cm en el plano = 50 cm reales. Real = 4·50 = 200 cm = 2 m.
14. Centro de homotecia · razón k
Por homotecia de centro O(0,0) y razón k = 3, el punto P(4, 5) se transforma en P′. Da la coordenada x de P′.
1
x′ = k·x = 3·4.
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P′ = (k·x, k·y) = (12, 15). Coordenada x = 12.
15. Inversión · radio inverso
Inversión de centro O y potencia (radio de inversión al cuadrado) k = 144. Si OP = 12 mm, ¿cuánto mide OP′ (mm)?
1
OP′ = k/OP = 144/12.
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OP·OP′ = k ⇒ OP′ = 144/12 = 12 mm (P es el punto autoinverso).
Test de autoevaluación
La mediatriz de un segmento AB es:
Si dos circunferencias son tangentes interiores con r₁ = 50 y r₂ = 20 mm, la distancia entre sus centros es:
El arco capaz de 90° sobre un segmento AB es:
La razón de áreas de dos figuras semejantes con razón lineal k vale:
En el hexágono regular, la suma de sus ángulos interiores es:
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